则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形， 设
，则 ， ，
由 即
∽
，得
， ， 知
， ，
，
则矩形BGPH的面积
当
，
中位线， ，
，
，
，
时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
、ED为 ，
【解析】【解答】（1）解：
，
又
，
四边形FEDB是矩形，
，
则
故答案为： ；
，
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由 △APN∽△ABC知
，可得PN=a-
，设PQ=x，由S
可得；（2）由
PQMN=PQ?PN=
矩形
，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长
GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知
，据此求得EI=
，PH=
，再根据矩形BGPH的面积S=
可得答案.
二、圆的综合
9．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
AB的值． （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD是直径， ∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=
，
∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴
，
．
∴BE?AB=BD?BD=
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
10．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，当∠D= °时，四边形FOBE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】
（1）由等角的转换证明出?OCA≌?OCE，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线. （2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证?OBE为等边三角形，而得出
?BOE?60?，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证明：∵CD与⊙O相切于点E， ∴OE?CD， ∴?CEO?90?， 又∵OCPBE，
∴?COE??OEB，∠OBE=∠COA ∵OE=OB，
∴?OEB??OBE， ∴?COE??COA， 又∵OC=OC，OA=OE， ∴?OCA≌?OCE， （SAS）∴?CAO??CEO?90?， 又∵AB为⊙O的直径， ∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵四边形FOBE是菱形， ∴OF=OB=BF=EF， ∴OE=OB=BE，
∴?OBE为等边三角形， ∴?BOE?60?， 而OE?CD， ∴?D?30?． 故答案为30． 【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
11．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为?AB，P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
?的长； 思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
?【答案】发现： 90°，102； 思考：（1） 到折痕PQ的距离为30. 【解析】
10?；（2）25π?1002+100；（3）点O3分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论．
探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=
1OO′=30． 2详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点， ∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=OA2?OB2=102； 思考：（1）如图，连接OQ，
∵点P是OB的中点，
11OB=OQ． 22∵QP⊥OB， ∴∠OPQ=90°
∴OP=
OP1?， 在Rt△OPQ中，cos∠QOP=
OQ2∴∠QOP=60°， ∴lBQ=
60??1010??； 1803（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝102， 在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2
2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案
