∵AF⊥AE，
∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°，
∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°， ∴∠AFH=∠OAE, ∵AF=OA， ∴△AFH≌△EAO， ∴FH=OA，
∵点A（-4,0），点B（0，-4） ∴FH=OA=OB=4，
∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO, ∴△FDH≌△BDO， ∴OD=DH=1， ∴AH=OH=OE=2， ∴E（0，-2）
（3）解：结论：MN=OM,MN⊥OM， 理由：连接OH，OM与BN交于G，
∵OA=OB,∠AOB=45°， ∴∠OAB=45° ∵OE=EB=2，EH∥OA,
∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°， ∵∠MON=45° ∴∠GON=∠GHM, ∵∠NGO=∠MGH, ∴△NGO∽△MGH， ∴ = , ∴ = , ∵∠NGM=∠OGH, ∴△NGM∽△OGH， ∴∠NMG=∠OHG=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形 ∴MN=OM,MN⊥OM. 【解析】【解答】（1）∵ ∴a=-4，b=-4,
∴点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0，-4）
【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（2）如图1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出AH=OH=OE=2;（3）连接OH，OM与BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出 = ,再推出 = ,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.
=0,
4．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 的值。 【答案】（1） 或 或 （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ACB =∠CAD，
.
又∵∠BAC=∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴ = ， 即CA2=BC·AD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2=BC·AB， ∴△ABC是比例三角形.
（3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD, ∴BH= BD,
∴AD∥BC，∠ADC=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°, 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴ = , ∴AB·BC=DB·BH, ∴AB·BC= BD2, 又∵AB·BC=AC2, ∴ BD2=AC2, ∴ =
.
【解析】【解答】解：（1）∵已知△ABC是比例三角形，依题可得： ①当AB2=BC·AC时， ∵AB=2，BC=3． ∴4=3AC，
∴AC= ； ②CB2=AB·AC， ∵AB=2，BC=3． ∴9=2AC， ∴AC= ； ③AC2=BC·AB， ∵AB=2，BC=3． ∴AC2=2×3， ∴AC=
.
.
综上所述：AC的长为： 或 或
【分析】（1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：①当AB2=BC·AC时，②CB2=AB·AC，③AC2=BC·AB，代入CB、AB的数值分别求得AC长.
（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△DCA，由相似三角形的性质得CA2=BC·AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ADB=∠ABD，根据等腰三角形等角对等边得AB=AD，将此代入上式即可得证.
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH= BD,由相似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即AB·BC= BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.
5．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；②推断： AG∶BE的值为 ： （2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG
交AD于点H．若AG=6，GH=2 ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
，则BC=________．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形
（2）解：连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中， =cos45°= ∴ =
、 =cos45°= ，
，
∴△ACG∽△BCE， ∴
，
BE
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= （3）
【解析】【解答】（1）②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴ ∴ 故答案为：
，GE∥AB，
， ；
（ 3 ）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°，
2024-2024中考数学圆与相似综合题含答案
