∵AF⊥AE,
∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°,
∴∠FAH+∠OAE=90°,∠FAH+∠AFH=90°, ∴∠AFH=∠OAE, ∵AF=OA, ∴△AFH≌△EAO, ∴FH=OA,
∵点A(-4,0),点B(0,-4) ∴FH=OA=OB=4,
∵∠FHD=∠BOD=90°,∠FDH=∠BDO, ∴△FDH≌△BDO, ∴OD=DH=1, ∴AH=OH=OE=2, ∴E(0,-2)
(3)解:结论:MN=OM,MN⊥OM, 理由:连接OH,OM与BN交于G,
∵OA=OB,∠AOB=45°, ∴∠OAB=45° ∵OE=EB=2,EH∥OA,
∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°, ∵∠MON=45° ∴∠GON=∠GHM, ∵∠NGO=∠MGH, ∴△NGO∽△MGH, ∴ = , ∴ = , ∵∠NGM=∠OGH, ∴△NGM∽△OGH, ∴∠NMG=∠OHG=90°, ∴△OMN是等腰直角三角形 ∴MN=OM,MN⊥OM. 【解析】【解答】(1)∵ ∴a=-4,b=-4,
∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,-4)
【分析】(1)先将式子变形为完全平方公式的形式,再根据平方的非负性求解;(2)如图1中,作FH⊥OA于H,由△AFH≌△EAO,推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出AH=OH=OE=2;(3)连接OH,OM与BN交于G,由△NGO∽△MGH,推出 = ,再推出 = ,再得出△NGM∽△OGH,推出∠NMG=∠OHG=90°,推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.
=0,
4.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3.请直接写出所有满足条件的AC的长; (2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC, ∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形;
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求 的值。 【答案】(1) 或 或 (2)证明:∵AD∥BC, ∴∠ACB =∠CAD,
.
又∵∠BAC=∠ADC, ∴△ABC∽△DCA, ∴ = , 即CA2=BC·AD, 又∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴AB=AD, ∴CA2=BC·AB, ∴△ABC是比例三角形.
(3)解:如图,过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD, ∴BH= BD,
∴AD∥BC,∠ADC=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°, 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴ = , ∴AB·BC=DB·BH, ∴AB·BC= BD2, 又∵AB·BC=AC2, ∴ BD2=AC2, ∴ =
.
【解析】【解答】解:(1)∵已知△ABC是比例三角形,依题可得: ①当AB2=BC·AC时, ∵AB=2,BC=3. ∴4=3AC,
∴AC= ; ②CB2=AB·AC, ∵AB=2,BC=3. ∴9=2AC, ∴AC= ; ③AC2=BC·AB, ∵AB=2,BC=3. ∴AC2=2×3, ∴AC=
.
.
综上所述:AC的长为: 或 或
【分析】(1)由比例三角形的定义分三种情况讨论:①当AB2=BC·AC时,②CB2=AB·AC,③AC2=BC·AB,代入CB、AB的数值分别求得AC长.
(2)根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△DCA,由相似三角形的性质得CA2=BC·AD;根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ADB=∠ABD,根据等腰三角形等角对等边得AB=AD,将此代入上式即可得证.
(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH= BD,由相似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即AB·BC= BD2,联立(1)中的结论即可得出答案.
5.如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形CEGF是正方形;②推断: AG∶BE的值为 : (2)探究与证明:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由: (3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG
交AD于点H.若AG=6,GH=2 ∴∠BCD=90°,∠BCA=45°, ∵GE⊥BC、GF⊥CD, ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
,则BC=________.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°, ∴EG=EC,
∴四边形CEGF是正方形
(2)解:连接CG,
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α, 在Rt△CEG和Rt△CBA中, =cos45°= ∴ =
、 =cos45°= ,
,
∴△ACG∽△BCE, ∴
,
BE
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= (3)
【解析】【解答】(1)②由①知四边形CEGF是正方形, ∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°, ∴ ∴ 故答案为:
,GE∥AB,
, ;
( 3 )∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线, ∴∠BEC=135°, ∵△ACG∽△BCE, ∴∠AGC=∠BEC=135°, ∴∠AGH=∠CAH=45°,
2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案
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