2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案
一、相似
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．
（1）若AB=3，AD=
，求△BMC的面积；
BN ．
（2）点E为AD的中点时，求证：AD= 【答案】（1）解：如图1中，
在△ABM和△CAD中，∵AB=AC，∠BAM=∠ACD=90°，AM=CD，∴△ABM≌△CAD，∴BM=AD= ×23=3．
（2）解：如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．
，∴AM=
=1，∴CM=CA﹣AM=2，∴S△BCM= ?CM?BA=
∵AE=ED，∠ACD=90°，∴AE=CE=ED，∴∠EAC=∠ECA，∵△ABM≌△CAD，∴∠ABM=∠CAD，∴∠ABM=∠MCE，∵∠AMB=∠EMC，∴∠CEM=∠BAM=90°，∴△ABM∽△ECM，∴
，∴
，∵∠AME=∠BMC，∴△AME∽△BMC，
∴∠AEM=∠ACB=45°，∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，∴∠PEQ=∠AEC，∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，∴△EPA≌△EQC，∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC ∴BE平分∠ABC，∴∠NBC=∠ABN=22.5°，∵AH垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠NCB=∠NBC=22.5°，∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，∴△ENC的等腰直角三角形，∴NC= EC，∴AD=2EC，∴2NC= 得出BM=AD=
AD，∴AD=
NC，∵BN=NC，∴AD=
BN．
【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABM≌△CAD，根据全等三角形对应边相等
，根据勾股定理可以算出AM，根据线段的和差得出CM的长，利用
S△BCM= ?CM?BA即可得出答案；
（2）连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECA，根据全等三角形对应角相等得出∠ABM=∠CAD，从而得出∠ABM=∠MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出∠CEM=∠BAM=90°，从而判断出△ABM∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得出BM∶ CM= AM∶ EM,从而得出BM∶ AM= CM∶ EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出△AME∽△BMC，故∠AEM=∠ACB=45°，∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，故∠PEQ=∠AEC，∠AEQ=∠EQC，又∠P=∠EQC=90°，故△EPA≌△EQC，故EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE平分∠ABC，故∠NBC=∠ABN=22.5°，根据中垂线定理得出NB=NC，根据等腰三角形的性质得出∠NCB=∠NBC=22.5°，故∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，△ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= AD=
NC，又BN=NC，故AD=
BN．
与 轴的两个交点分别为A
EC，根据AD=2EC，2NC=
AD，
2．在平面直角坐标系中，抛物线
（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标. 【答案】 （1）解：设抛物线的解析式为
，
∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)， ∴
∴抛物线解析式为
，解得，a=-1，b=-2，c=3，
，顶点C（-1,4）；
（2）解：如图1，∵A(-3，0)，D(0，3),
∴直线AD的解析式为y=x+3， ∴CF=FH，
设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为(-1，2) 分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，
由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，△ADE与△ACD面积相等， ∴直线EC的解析式为y=x+5， 直线EH的解析式为y=x+1， 分别与抛物线解析式联立，得 解得点E坐标为(-2，3)，
， ，
，
；
（3）解：①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，
∴
，
分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N， 由△CQM∽△QPN， 得
∵∠MCQ=45°，
设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m， ∴P点坐标为(-m-1，4-3m)， 将点P坐标代入抛物线解析式，得 解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去) ∴P点坐标为(-4，-5)；
②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH， ∴
，
x轴于点N，
，
=2，
延长CD交x轴于M，∴M(3，0)
过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FN
∴
∴MN=FN=2，
，
∵∠MCH=45°，CH=MH=4 ∴F点坐标为(5，2)， ∴直线CF的解析式为y=
，
联立抛物线解析式，得 ，解得点P坐标为(
， ).
， )，
综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，(
【解析】【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，利用△ADE与△ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3) （3）分两种情况讨论：①点P在对称轴左侧；②点P在对称轴右侧.
3．在平面直角坐标系中，点A
.
点B
已知
满足
（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交 轴于点D，若点D(-1,0)，求点E的坐标；
（3）在(2)的条件下，如图2，过E作EH⊥OB交AB于H，点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上)，连接MO，作∠MON=45°，ON交线段BA的延长线于点N，连接MN，探究线段MN与OM的关系,并说明理由。 【答案】 （1）（-4,0）；（0，-4） （2）解：作FH⊥OA于H，
2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案
