.
概率论和数理统计试题及答案
一、填空题 :
1、设 A 与 B 相互独立 ，P(A) = , P(B) = , 则 P (B-A) =
11.
3
2
解： P(B
A) P(B)[1
P( A)]
1 (1 ) 1 2 3 3
2
1
2、设 X ~ U [1,3] （均匀分布），则 E( X
) ， D (2 X )
．
E(5 X
2)
，
解： E( X ) 2; D ( X ) 1/ 3
E( X 2 ) D ( X ) E( X )2 13 / 3
D (2 X ) 4D ( X ) 4 / 3
E(5 X
2) 5E( X ) 2 10 2 8
3、设随机变量 X 服从指数分布，即
X ~ E (2),
定义随机变量
2, X
3
Y
1, X
3
则 Y
的 分布列为
。
1, X 3
解：
FY (Y)
P(Y y)
P(Y
1) P(X
3)
3 2e 2x dx
e 2 x 3
1 e 6 2
0
0
FY (Y)
P(Y y)
P( 1
Y 1)
P( X
3) 3 2e 2 x dx e 2x 3
1 e 6
0
0
FY (Y)
P(Y y)
P(1 Y 2)
P(X
3)
其中
是与 y 无关的量
3
2e 2 x dx
e 2 x 3
1 e 6 2
0
0
4、设 X ~ B(200,0.1)
Y ~ P(3) , Z ~ N (3, 22 ) ，且 X ， Y, Z 相互独立 , 则
E(2 X
3Y Z 5)
, D (2 X 3Y Z
5)
解
E(2 X
3Y Z 5) 2E( X ) 3E(Y) E( Z ) 5 2 200
0.1 3 3 3 5 33D (2 X 3Y Z
5)
4D ( X ) 9D (Y) D ( Z )
72 27 4 103
.
：
.
5、设总体 X ~ N ( ,
是未知参数
的无偏估计，则
2 ) ， x1 , x2 , x3 为来自 X 的样本， ?
0.5 x1 0.1x2 ax3
a
。
解：因为是无偏估计所以
?
E( ) E(0.5 x1 0.1x2 ax3 ) 0.5E(x1 ) 0.1E( x2 )
(0.5 0.1 a) E( X ) (0.5 0.1 a)
aE( x3 )
(0.5 0.1 a)
1
2
a 0.4
6、设 X ~ N ( 1 ,
本均值，样本容量分别为
12 ) ， Y ~ N ( n1, n2 。若
,
2
2 ) , X 与 Y 相互独立，且 X 与 Y 分别为 X ,Y 的样
22
1 , 2 已知，则检验假设：
H 0 : 1
2
；H
1 12
:
的检验统计量为 解：
。
(X Y )
2 1
2 2
n1 n2
7 、 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ( ,1), 关 于
的 二 者 必 居 其 一 的 假 设 为
H 0 : 0; H 1: 1, 且假设的拒绝域取为 W : x c(0 c
II 类错误的概率
＝
1), 其中 x 是容量为 n 的样本均
。
值，则以 W 为拒绝域的检验法犯第
解：因为 ( x
) / (
/ n)
n ) 服从于标准正态分布
P( ) P( x / ( c / ( / n ) u 0)
P( c n
x c n )
2 (c n ) 1
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、设 A、 B、 C 是三个事件， 则下列事件中必与
A、 ABC
C、 A U B U C
A 互斥的是
B、 A U B U C D、 AB U AC
【
C
】
1, x x3, 0 0, x
0
1
x 1，则 E( X )
2、设随机变量 X 的分布函数 F ( x)
【
C 】
.
.
A 、1
B、
3 4
C、
1 2
D、
1
4
解： f ( x)
dF ( X )
0
x 1
=
2x2
0 x 1 x
0
0
E( x)
1 0
xf ( x)dx
3
2x dx
1
x
4 0
1
1
2
2
3、设 X 服从参数
A、 fY ( y)
0.5 的指数分布，则 Y 2 X 的概率密度函数是
B、 fY ( y)
【
B 】
0.5e 0.5 y y
0 0
0.25e 0.25 y y
0 y 0
0
0
C、 fY ( y)
y
y
0 0
e y2
D、 fY ( y)
e y 0
y y
0 0
0
解： fY ( y) f x ( )d ( )
yy
y
2 2
1 2
0.5 e
0.5 y
2
y 0
=
0
y 0
4、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为
50g ，标准差为 5g ，应用独立同分布
的中心极限定理， 则一盒（ 100 个）螺丝钉的质量超过
n
5100g 的概率 p
(2)
D、
【 C 】
A 、 1 (1)
B、
(1) C、 1 (2)
解： P(
i 1
xi 5100)
.
n
.
1 p( i
xi
1
n
n 2)
9
5100 100 50 )
100 5
1 p( z
1
(2)
5、 x
1
,x ,?，x
2
是正 体 N(0，2)的 本， 在下列各式中，正确的是 【
9
2
2
9
2
2
】
1
1
A、 8 i 1 xi ~ (9)
B、 9 i 1 xi ~
(8)
C、
1
9
9 i 1
2 xi
~
2
(9)
D、
1
9
8 i 1
2 xi
2 ~
(8)
解：选 C
6、设 E( X )
11, D ( X ) 9 ，用雪比晓夫不等式估计概率
p
P{2 X 20} 是
【
】
A、 p
1 9
B、 p
1 9
C、 p
8 9
D、 p
8 9
解： P{2
X 20}
P( X 11 9) 1
9
8 9
92
C
7、设 X ~ N (0,1), Y ~
A、 X 2
2
2 (5), 且 X 与 Y 相互独立， 则下列分布错误的是
2
B、 X ~ F (1,5)
【 】
Y ~
~ F (1,5)
2
(6)
Y
C、
X
D、
X
~ t(5)
Y / 5
解：选 D
Y / 5
8、设 H 0 表示假设 H 0 真 , H 0 表示假设 H 0 假 , 拒绝域为 A ，则犯第二类错误的概率
为
【 】
A、 P( A H 0 )
解：选 D
B、 P( A H 0 ) C、 P( A H 0 ) D、 P( A H 0 )
三、解答题
1、设随机变量 X 的分布列为：
X
-1
1
2
.
.
p 0.3 0.5 0.2
X求：（ 1） Y=X 的分布列； (2) Z
2
2( X ,Y) 、设
cos 2 X Y
分布列；（ ） E X），D（ X 。
3
(
)
0
1
a
2/15 2/15
2 3
1
2
( X ,Y)
的联合分布列为
．（ ）求常数 a；（ ）求
1
2 /15
4/15 4/15
的边缘分布列； （ 3）判别 X 与 Y 是否独立
解： a 1
14 15
1
1 15
X / Y
0 1
2 2/15 4/15
3 2/15 4/15
FY ( X ) FY (0) FY (1)
1/15 2/15
1/ 3 2 / 3
FX (Y ) FX (1) 1/ 5 FX (2)
2 / 5
FX (3)
2 / 5
由表得 F ( X ,Y) 即： F (0,1)
FY ( X )FX (Y)
1
FY (0) FX (1) FY (0) FX (2)
1 1
F (0,2)
3 5 15 1 2 2 3 5 15
F (0,2)
1 2
FY (0) FX (3)
3 5
2 1
2
2
15
F (1,1) FY (1)FX (1)
F (1,2) FY (1)FX (2)
3 5 15 2 2 4 3
F (1,3) FY (1)FX (3)
2 3
2 5
5
4
15
所以相互独立
15
3、设电源电压 X ~ N (220, 252 ) ，且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别
是 0.1，0.001 和 0.2：（ a） X 不超过 200 伏；（b） X 在 200~240 伏之间；（c） X 超过 240 伏。
求：（1 ）电子元件损坏的概率 (设：
(0.8) 0.8 )；
（ 2 ）某仪器装配有 50 个这种电子元件， 它们的工作状态相互独立，如果电压 X 超过 240
时，求这 50 个电子元件中至少 10 个损坏的概率 （要求：只列式，不计算） 。
解：
1
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概率论和数理统计试题及答案.docx
