必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.
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[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以小题的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合浙江新高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“复数、数学归纳法”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．
技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分
[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有76分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．
解法1 直接法
直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用
选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.
π???π?【例1】 (1)将函数y＝sin?2x－?图象上的点P?，t?向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.3???4?若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( ) 1π
A．t＝，s的最小值为
26 B．t＝
3π，s的最小值为 26
1π
C．t＝，s的最小值为
23 D．t＝
3π，s的最小值为 23
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______． [解题指导] (1)先求点P坐标，再求点P′的坐标，最后将点P′的坐标代入y＝sin2x求s的最小值．
(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m，n的值．
π??π?? (1)A (2)－3 [(1)因为点P?，t?在函数y＝sin?2x－?的图象上，所以t＝
3??4??π1?ππ??π1?sin?2×－?＝sin＝.所以P?，?.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得
43?62??42?1??π
P′?－s，?.
?42?
因为P′在函数y＝sin 2x的图象上，所以sin 2?＋
?π－s?＝1，即cos 2s＝1，所以2s＝2kπ
?2
2?4?
π5π5ππ
或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值为. 33666
(2)∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
?2m＋n＝9，?
∴?
??m－2n＝－8，
∴?
?m＝2，???n＝5，
∴m－n＝－3.]
??3x－b，x<1， [变式训练1] 设函数f(x)＝?x??2， x≥1.
??5?? 若f?f???＝4，则b＝( )
??6??
A．1
7
B. 8
3
C.
41D. 2
5553157?5??5? D [f??＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×?－b?－b＝－4b＝4，解得b＝，622228?6??2?5351
不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]
2222
解法2 等价转化法
所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.
→→→→→
【例2】 (1)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝→→→
2NC，则AM·NM＝( ) A．20 C．9
2
2
2
B．15 D．6
(2)若直线3x－4y＋5＝0与圆x＋y＝r(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
→→→→
[解题指导] (1)把向量AM，NM用AB，BC表示，再求数量积．
(2)利用∠AOB＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解． →→→→3→→→→1→1→1→1→
(1)C (2)2 [(1)依题意有AM＝AB＋BM＝AB＋BC，NM＝NC＋CM＝DC－BC＝AB－BC，所以
43434→→?→3→??1→1→?1→23→2
AM·NM＝?AB＋BC?·?AB－BC?＝AB－BC＝9.故选C.
4??34?316? (2)如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝53＋－
2
2
＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]
→→
[变式训练2] (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长为( ) 【导学号：68334151】 A．2
3B. 2
C．1
2
2
1D. 2
2
(2)若直线y＝kx＋1(k∈R)与圆x＋y－2ax＋a－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．
→→→→→→→1→→→→
(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC＝AD＋DC，BE＝BC＋CE＝AD－DC，所以AC·BE＝(AD＋
2→
DC)·?AD－DC?＝AD2＋AD·DC－DC 2，所以1＋|DC|·cos 60°－|DC|2＝1，|DC|＝，故AB的长为.
12
?→1→?→
2??
1→
2
→
121→21→2
→
12
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即0＋1－2a×0＋a－2a－4≤0，即a－2a－3≤0，解得－1≤a≤3.]
解法3 特殊值法
2
2
2
2
在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等
来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需
对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.
【例3】 (1)设f(x)＝ln x,0 B．q＝r>p D．p＝r>q ?a＋b?，r＝1(f(a)＋f(b))，则下列 ?2?2? ?π? (2)“对任意x∈?0，?，ksin xcos x 2?? A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a，b取特殊值处理，如a＝1，b＝e. (2)正常来说分析不等式ksin xcos x＜x成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x取特殊值进行分析，这样既快又准确． 1?1＋e?＞f(e) (1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a＝1，b＝e，则p＝f(e)＝lne＝，q＝f??2?2? 111 ＝，r＝(f(1)＋f(e))＝，在这种特例情况下满足p＝r＜q，所以选C. 222 ππ?π? (2)若对任意x∈?0，?，ksin xcosx＜x成立，不妨取x＝，代入可得k＜，不能推出k2?42? ?π?＜1，所以是非充分条件；因为x∈?0，?，恒有sin x＜x，若k＜1，则kcos x＜1，一定有 2?? ksin xcos x＜x，所以选B.] [变式训练3] (1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( ) A．a1a8＞a4a5 C．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1a8＜a4a5 D．a1a8＝a4a5 cos A＋cos C (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则 1＋cos Acos C＝________. 4 (1)B (2) [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立． 51 (2)令a＝b＝c，则A＝C＝60°，cos A＝cos C＝. 2cos A＋cos C4 从而＝.] 1＋cos A cos C5 解法4 数形结合法 数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法. x－y≥0，?? 【例4】 (1)已知x，y满足约束条件?x＋y－4≤0， ??y≥1， A．－1 C．－5 B．－2 D．1 则z＝－2x＋y的最大值是( ) ?π?2x (2)函数f(x)＝4coscos?－x?－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为______． 2?2? [解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x，y的值，从约束条件中不可能解出对应的x，y的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值． (2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可． (1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC内部及其边界，当直
2024年浙江高考数学二轮复习教师用书：第2部分 必考补充专题 技法篇：6招巧解客观题省时、省力得高分
