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柯西准则及其应用
摘 要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就x?x0一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．
关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性
引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就x?x0一种情形来讨论，即
设函数f(x)在U0(x0;??)内有定义，limf(x0)存在的充要条件是：任给??0，存在正数
x?x0?(
??事实上，当x?x0，x?x0，x???，x???，x??五种情形函数极限存在的柯西
准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．
1 柯西准则的其它五种形式
定理1.1 设函数f在U0?(x0;??)内有定义．limf(x0)存在的充要条件是：任给??0，存
?x?x0在正数?(???)，使得对任何x?，x???U0?(x0;?)，均有f(x?)?f(x??)
证 必要性 设limf(x)?A，则对任给的?>0，存在正数?(
?x?x0?x?U0?(x)有f(x)?A?0;?，?2x???U0?(x0;?)，．于是对?x?，有
n??充分性 设数列?xn??U0?(x0;?)且limxn?x0，按假设，对任给的?>0，存在正数?(
由于xn?x0(n??)，对上述的?>0，存在N>0，使得当n，m>N时有xn，xm?U0?(x0;?) 从而有
f(xn)?f(xm)??．
于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列?f(xn)?的极限存在，记为A，即limf(xn)?A．
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设另一数列?yn??U0?(x0;??)且limyn?x0，则如上所证，limf(yn)存在，记为B．现证
n??n??B?A，为此，考虑数列
易见?zn??U0?(x0;??)且limzn?x0，故仍如上面所证，?f(zn)?也收敛．于是，作为?f(zn)?的
n??两个子列，?f(xn)?与?f(yn)?必有相同的极限，所以由归结原则推得limf(x)?A．
?x?x0证毕
定理1.2 设函数f在U0?(x0;??)内有定义．limf(x0)存在的充要条件是：任给??0，
?x?x0存在正数?(???)，使得对任何x?，x???U0?(x0;?)，均有f(x?)?f(x??)
以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．
证 充分性 设数列?an?满足柯西条件，先证明?an?是有界的．为此，取??1，则存 正整数N，当m?N?1及n?N时有 由此得
an?an?aN?1?aN?1?an?aN?1?aN?1?aN?1?1．
令
则对一切正整数n均有an?M．
于是，由致密性定理可知，有界数列?an?必有收敛子列ank，设limank?A．对任给的
k??????0，存在K?0，当m，n，k?K时，同时有
?an?am?ank?A?2(由柯西条件)，
?2（由limank?A）．
k??因而当取m?nk(?k?K)时，得到
an?A?an?ank?ank?A??2??2??．
这就证明了liman?A．
n??有归结原则：lim?f(x)?A?对任何xn?x0(n??)有limf(xn)?A．
x?x0n??充分性即证．
必要性 设liman?A．有数列极限定义，对任给的??0，存在N?0
n??当m，n?N时有
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因而
am?an?am?A?an?A??2??2??．
由归结原理知，即可证得．
证毕
注 归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．
定理1.3 充分大的M>0，设函数f在U(??)内有定义．limf(x)存在的充要条件是：
x???任给??0，存在正数M1(?M)，使得对任何x?>M1，x??>M1，均有f(x?)?f(x??)
证 先证必要性．设limf(x)?A，按照定义，???0，?M1?0，M1?M，?x?，x???M1
x???f(x?)?A???，f(x??)?A?． 22于是
f(x?)?f(x??)?f(x?)?A?f(x??)?A
再证充分性．设???0，?M1?0，M1?M，?x?，x???M1
f(x?)?f(x??)
任意选取数列?xn?，limxn???．则对上述M1?0，?N?0，?n，m?N，xn，xm?M1．有
n??
f(xn)?fx(m?)?．
x???这说明函数值数列?f(xn)?是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知limf(x)存在而且有极限．
证毕
注 上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义 如果数列?xn?具有以下特征：???0，?N?0，?n，m?N 则称数列是一个基本数列．
定理1.4 充分大的M>0，设函数f在U(??)内有定义．limf(x)存在的充要条件是：
x???任给??0，存在正数M1(?M)，使得对任何x?
证 必要性 设limf(x)?A，则对任给的??0，存在正数M1(?M)，使得对任何x??M1x???3页
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