第1章习题答案
1－1题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？
解：①连续信号：图（a）、（c）、（d）；②离散信号：图（b）；③周期信号：图（d）；
④非周期信号：图（a）、（b）、（c）；⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。
1－2已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。
解：设T为此系统的运算子，由已知条件可知：y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ①线性 1）可加性
不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则
y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|，y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|，而
|f1(t)|＋|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)|
即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性
由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t)（其中a为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。
②时不变特性
由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|，
即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3判定下列方程所表示系统的性质： 解：（a）①线性 1）可加性
df(t)t由y(t)???0dtdf1(t)t??y1(t)?dt??0f1(x)dxf(x)dx可得?df(t)t?y2(t)???f2(x)dx0dt?即f1(t)?y1(t)则
即f1(t)?y1(t)即在f1(t)?y1(t)、f2(t)?y2(t)前提下，有f1(t)＋f2(t)?y1(t)＋y2(t)，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由f(t)?y(t)即
y(t)?df(t)t??f(x)dx，设a为任一常数，可得 0dt即af(t)?ay(t)，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。
②时不变性
f(t)?y(t)具体表现为：y(t)?df(t)t??f(x)dx 0dt将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0的常数），
df(t?t0)t??f(x?t0)dx 即y(t?t0)?0dtdf(t?t0)t?t0??f(?)d?设x?t0??，则dx?d?，因此y(t?t0)??t0dtdf(t?t0)t?t0??f(x)dx， 也可写成y(t?t0)??t0dt
只有f(t)在t=0时接入系统，才存在f(t?t0)?y(t?t0)，当f(t)在t≠0时接入系统， 不存在f(t?t0)?y(t?t0)，因此，此系统为一时变系统。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。 （b）①线性 1）可加性 在由
y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2)规定的f(t)?y(t)对应关系的前提下，可得
即由
f1(t)?y1(t)?可推出?????f1(t)＋f2(t)?y1(t)＋y2(t)，系统满足可加性。
f2(t)?y2(t)?2）齐次性 由
f(t)?y(t)，即y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2)，两边同时乘以常数a，有 (t)?ay(t)，因此，系统具备齐次性。
即af由1）、2）可判定此系统为一线性系统。
②时不变性
分别将y(t?t0)和f(t?t0)（t0为大于0的常数）代入方程
y''(t)?2y'(t)?3y(t)?f'(t)?f(t?2)左右两边，则
d2y(t?t0)dy(t?t0)?2?3y(t?t0) 左边＝
dtdt2ddddd2y(t?t0)?y(t?t0)，而[y(t?t0)]?2y(t?t0)
d(t?t0)dtd(t?t0)d(t?t0)dtd2y(t?t0)dy(t?t0)?2?3y(t?t0)＝左边，故系统具备时不变特性。 所以，右边＝2dtdt依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。 （c）①线性 1）可加性
在由式y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t)规定的即在f1(t)'''f(t)?y(t)对应关系的前提下，可得
?y1(t)、f2(t)?y2(t)的前提下，有式f1(t)?f2(t)?y1(t)?y2(t)存
在，即系统满足可加性。
2）齐次性 由
f(t)?y(t)，即y''(t)?2ty'(t)?2y(t)?3f(t)，两边同时乘以常数a，有
ay''(t)?2aty'(t)?2ay(t)?3af(t)?[ay(t)]''?2t[ay(t)]'?2[ay(t)]?3[af(t)]，
即有af(t)?ay(t)，因此，系统具备齐次性。
依据上述1）、2），此系统为一线性系统。 ②时不变性
分别将y(t?t0)和f(t?t0)（t0为大于0的常数）代入方程y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t)左右两边，则 因此，系统是时变的。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。 （d）①线性 1）可加性
在由式[y(t)]?y(t)?f(t)规定的
2'2'''f(t)?y(t)对应关系的前提下，可得
而不是：{[y1(t)?y2(t)]'}?[y1(t)?y2(t)]?[f1(t)?f2(t)] 即在f1(t)?y1(t)、f2(t)?y2(t)的前提下，并不存在f1(t)?f2(t)?y1(t)?y2(t)
因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面的齐次性判定过程可省略） 2）齐次性 由
f(t)?y(t)，即[y'(t)]2?y(t)?f(t)，两边同时乘以常数a，有
a[y'(t)]2?ay(t)?af(t)，即式{[ay(t)]'}2?[ay(t)]?[af(t)]不成立，不存在af(t)?ay(t)
因此，系统也不具备齐次性。
单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。
②时不变性
分别将y(t?t0)和f(t?t0)（t0为大于0的常数）代入方程[y(t)]?y(t)?f(t)左右两边，则
即以式[y(t)]?y(t)?f(t)规定的因此，系统是非时变的。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。 1－4试证明方程y(t)?ay(t)?f(t)所描述的系统为线性系统。
[提示：根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。] 证明：1）证明齐次性
2）证明可加性
由以上1）、2），可知系统是线性的。
1－5试证明题1－4的系统满足时不变性。[提示：将方程中的t换为t-t0,导出f(t-t0)与y（t-t0)对应。] 证明：
分别将y(t?t0)和f(t?t0)（t0为大于0的常数）代入方程y(t)?ay(t)?f(t)左右两边，则
'''2'2f(t)?y(t)关系为前提，存在f(t?t0)?y(t?t0)
即以式y(t)?ay(t)?f(t)规定的因此，系统满足时不变性。
'f(t)?y(t)关系为前提，存在f(t?t0)?y(t?t0)
1－6试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性和微分的定义推导。] 证明：
设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为由线性可加性可得
f(t)?y(t)，则
f(t)?f(t??t)?y(t)?y(t??t)
因此
f(t)?f(t??t)y(t)?y(t??t)?
?t?t所以
lim?t?0f(t)?f(t??t)y(t)?y(t??t)?lim
?t?t?t?0即
f'(t)?y'(t)线性时不变系统具有微分特性。
'?t1－7若有线性时不变系统的方程为y(t)?ay(t)?f(t)，若在非零f(t)作用下其响应y(t)?1?e方程
，试求
y'(t)?ay(t)?2f(t)?f'(t)的响应。
解：
已知f(t)?y(t)?1?e?t，由线性关系的齐次性特性，有
又由线性系统的微分特性，有 再由线性关系的可加性特性，可得
信号与系统课后习题答案—第章
