2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.若x?0a?lim?e?ax?bx?x2?1x21，则（）
A.
11,b??1a??,b??122 B.
C.
a?11,b?1a??,b?122 D.
2.下列函数中，在x?0处不可导的是（） A.C.
f?x??xsinxf?x??cosx B.
f?x??xsinx
x D.
f?x??cos?2?ax,x??1?gx????1,x?0?x,?1?x?0?f?x????x?b,x?0fx?g?x?1,x?0??3.设函数，，若??在R上连续，则（）
A.a?3,b?1 B.a?3,b?2
C.a??3,b?1 D.a??3,b?2 4.设函数
f?x?在?0,1?上二阶可导，且?01f?x?dx?0，则（）
?1?f???0f?x?0A.当??时，?2? ?1?f???0f??x?0B.当??时，?2?
?1?f???0?2?
?1?f???0f?x?0f??x?0C.当??时，?2? D.当??时，
?25.设
大小关系为（）
M??2?1?x?1?x22???1?xdx,N???xdx,K??2?1?cosxdx,??2e22???则
M,N,KA.M?N?K B.M?K?N
1 / 4
C.K?M?N D.K?N?M 2?x212?x26.?0?1dx??x?1?xy?dy??0dx?x?1?xy?dy?（）
55A.3 B.6 77C.3
D.6
??110??011?7.下列矩阵中，与矩阵??001???相似的为（） ??11?1??011???10?1?A.??001???011??? B.??001?? ??11?1??010??10?1?C.??001????010?? D.??001??? 8.设A,B为n阶矩阵，记r?X?为矩阵X的秩，?XY?表示分块矩阵，则（）A.r?AAB??r?A?. B.
r?ABA??r?A?.
TC.
r?AB??max?r?A?,r?B??. D.
r?AB??r?ATB?.
二、填空题：9
14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
9.xlim???x2??arctan?x?1??arctanx???. 10.曲线
y?x2?2lnx在其拐点处的切线方程是. 11.
???15x2?4x?3dx?.
??x?cos3t?12.曲线?y?sin3t在t?4对应点处的曲率为. 2 / 4
～
13.设函数
z?z?x,y?z?1lnz?e?xy确定，则由方程
?z?1??x??2,??2?.
?,?,?A?1?2?1??2??314.设A为3阶矩阵，123为线性无关的向量组.若，
A?2??2?2?3，
A?3???2??3，则A的实特征值为.
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分） 求不定积分
16.（本题满分10分） 已知连续函数（1）求（2）若
2xxearctane?1dx?.
f?x?f?t?dt??tf?x?t?dt?ax满足?00xx2.
f?x?f?x?; 在区间?0,1?上的平均值为1，求a的值.
17.（本题满分10分）
?x?t?sint?0?t?2???设平面区域D由曲线?y?1?cost与x轴围成，计算二重积分
???x?2y?dxdyD.
18.（本题满分10分）
2x?1x?lnx?2klnx?1??0???已知常数k?ln2?1.证明：.
19.（本题满分10分） 将
长
为
2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.
三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
20.（本题满分11分） 已知曲线
L:y?42x?x?0?O0,0A0,19，点??，点??.设P是L上的动点，S3 / 4
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