《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：

则V成为实数域上的一个线性空间．

设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x， （1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；

（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]

解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，得

解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关． （2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以

从而

又

f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．

，故L（f0，f1，f2，f3）是＜