《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题
二
第一部分 名校考研真题
第6章 线性空间
一、选择题
1．下面哪一种变换是线性变换（ ）．[西北工业大学研] A．
B．【答案】C查看答案
【解析】给
而
不一定是线性变换，比如
不是惟一的．
则
也不是线性变换，比如
C．
2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）．[西北工业大学研] A．必相等 B．可能相等亦可能不相等 C．不相等
【答案】B查看答案
【解析】比如在(I)：0 (Ⅱ)(Ⅲ)
．
秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝
中选三个向量组
若选（I）（II），秩
秩（Ⅱ），从而否定C，故选B． 二、填空题 1．若
则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]
【答案】2；4．查看答案
【解析】在复数域上令
；则
是线性无关的．
则
此即证可由在实数域上，令
若
，其中
此即
在R上线性关．
可由
域R上，有三、分析计算题
1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研] 解：取的一组基
，再取
的一组基
则
线性表出，所以在实数，则
线性表出．
＝秩
2．设U是由W是由
生成的
生成的
的子空间，
的子空间，求
（1）U＋W：
（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研] 解：（1）令
可得
由于
为
的一个极大线性无关组，因此又可得
且（2）令
因为秩
＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：
再令
故ζ为U∩W的一组基．
3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令
（1）证明：W关于Kn的运算构成Kn的一个子空间；
（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1： （3）对于非齐次线性方程组
，则
，故
为U＋W的一组基．
．所以
求W的一个基．[华东师范大学研]
证明：（1）显然W≠，又
因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以
即kα＋lβ∈W，此说明W是Kn的子空间．
（2）对线性方程组（A，B）Xn＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r（A，B）＝n－r＋1． 任取α∈W，存在t∈K，使
所以
是线性方程组（A，B）Xn＋1＝0的解．
显然，这是W形到V的一个双射．又
这样，存在W到V的映射，
α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则
所以
且
可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1． （3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．
该方程组的一个基础解系为：
其在σ之下原像
即为W的一组基．
4．设V1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且则和空间证明：因为 所以 由题设 所以 即 当
时，由
得
此时
当
时
因为
，所以
，此时
与另一个重合．[上海交通大学研]
，
5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明： （1）存在
，使得
，使
[北京大学
（2）存在V中一组基研]
证明：（1）因V1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在（2）令
，同样有，则存在
如此继续下去，可得线性无关向量组
线性无关．令线性无关，
且显然，，且
（构成V的基），且有
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