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第五节 抛物线
[考纲要求]
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合思想．
突破点一 抛物线的定义及其应用
[基本知识]
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)AB为抛物线y2＝4x的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2＝1,y1y2＝－4,弦长|AB|＝x1＋x2＋2.( )
答案:(1)× (2)√ 二、填空题
1．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l:x＝－2的距离相等,则点P的轨迹方程为________．
答案:y2＝8x
5
2．已知抛物线C:y2＝x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|＝x0,则x0＝________.
4答案:1
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB的中点到y轴的距离为________．
5答案:
4
[全析考法]
考法一 抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2＝2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
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A．(0,0) C．(1,2)
?1?
B.?2? ???1?
D．(2,2)
1
(2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F,准线为l,M在l上,线段MF与抛物线
2交于点N,若|MN|＝2|NF|,则|MF|＝( )
A．2 C.2
B．3 D.3
[解析] (1)过M点作准线的垂线,垂足是N,则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|＋|MA|取得最小值,此时M(2,2)．
(2)如图,过N作准线的垂线NH,垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|,在Rt△NHM中,|NM|＝2|NH|,则∠NMH＝45°.在△MFK中,∠FMK＝45°,所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝2.故选C.
[答案] (1)D (2)C [方法技巧]
利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
考法二 焦点弦问题 焦点弦的常用结论
以抛物线y2＝2px(p＞0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影为A1,B1,则有以下结论:
p2
(1)x1x2＝,y1y2＝－p2;
4
2p
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最
sinθ短的焦点弦;
112(3)＋＝为定值; |AF||BF|p
(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; (5)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;
(6)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1＝90°; (7)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线．
[例2] (2019·长沙四校联考)过抛物线C:y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q―→―→―→
两点,与抛物线的准线交于点M,且FM＝3FP,则|FP|＝( )
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3A. 24C. 3
2B. 33D. 4
[解析] 如图,不妨设Q点在第一象限,过P作PN垂直于抛物线的准线,垂足为N,
由抛物线定义可知|PF|＝|PN|, ―→―→又因为FM＝3FP, ―→―→所以PM＝2FP, 所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|, 在Rt△PNM中,cos∠MPN＝
|PN|1
＝, |PM|2
p24
＝＝.故选C.
131＋cos∠MPN
1＋2
―→
由抛物线焦点弦的性质可知|PF|＝
[答案] C [方法技巧]
焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用,解题时,设出直线与抛物线两交点的坐标,根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长,再利用已知条件求解．
[集训冲关]
1.[考法一]若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为( )
1A. 23C. 2
B．1 D．2
解析:选B 设P(xP,yP),由题意可得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x＝－1,又点P到焦点F的距离为2,∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2,∴xP＋1＝2,得xP＝1,代入抛11
物线方程得|yP|＝2,∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.故选B.
22
2.[考法二]已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦,|AB|＝4,则AB中点C的横坐标是( )
A.2 3
C. 2
1B. 25D. 2
解析:选C 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|＝x1＋x2＋p＝4,
高考数学一轮复习讲义 第9章 第5节 抛物线
