第2章2.2.2删减版文库素材 - 图文 

(1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.

因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以

AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．

(2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.

图2

在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．

综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．【思维总结】证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．

变式训练3求证方程2x＝3有且仅有一个实根．证明：∵2x＝3，

∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明根的唯一性．

x假设方程2＝3有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝

3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，

如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．

如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．

因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故方程2x＝3有且只有一个根．