第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2010年4月11日 上午9:00至11:00 得分____
一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内． 1．计算2?5，得数是( )
(A)9位数． (B) 10位数． (C) 11位数． (D) 12位数． 2．若
129xy9x?y?18??1，则代数式的值( ) 239x?y?187557． (B)等于． (C)等于或不存在. (D)等于或不存在． 5775
(A)等于
?3(x?a)?2?2(1?2x?a)?3. The integer solutions of the inequalities about x ?x?bb?x are
??2?31,2,3, then the number of integer pairs (a,b) is( )
(A)32. (B)35. (C)40. (D)48.
（英汉词典：integer整数）
4．已知三角形三个内角的度数之比为x:y:z，且x+y ac(A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)等腰三角形． 5．如图1，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边的长分别为 fda，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是( ) e(A)a+b+c=d+e+f． (B)a+c+e=b+d+f． 图1(C)a+b=d+e． (D)a+c=b+d． 6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a，最长的中线的长为m，最长的 高线的长为h，则( ) (A)a>m>h． (B)a>h>m． (C)m>a>h． (D)h>m>a． 7．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有( ) (A) 15种． (B)11种． (C)5种． (D)3种． 8．若xy??0,x?y??0,b11?与x+y成反比，则(x?y)2与x2?y2 ( ) xy(A)成正比． (B)成反比． (C)既不成正比，也不成反比． (D)的关系不确定． 第 1 页 共 4 页 2k(x?0),y?(x?0)，点A在正y轴上，过点A作BC//x轴，交两个xx函数的图象于点B和C，若AB:AC?1:3，则k的值是( ) 9．如图2，已知函数y?(A)6． (B)3． (C)一3． (D)一6． 10. 10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与 他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是( ) (A)2． (B)一2． (C)4． (D)一4． 二、填空题（每小题4分，共40分．） 11.若x?27x?2?0，则x—24x= 4 2 212.如图4，已知点A（a，b），0是原点，OA=OA1，OA?OA1，则点A1的坐标是 13.已知ab??0，并且a?b?0，则 2ab11??.(填“?”、“?”、“?”或“?”) abb2a2a?b14.若a?b?2a?2b?2?0，则代数式a322?ba?b的值是 215.将代数式x?(2a?1)x?(a?2a?1)x?(a?1)分解因式，得 16.A、B、C三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A在前，C在后，B在A、C正中间. 10分 钟后，C追上B;又过了5分钟，C追上A.则再过 分钟，B追上A. 17.边长是整数，周长等于20的等腰三角形有 种，其中面积最大的三角形底边的长是 18.如图5，在△ABC中，AC=BD，图中的数据说明?ABC? 19.如图6，直线y??3x?1与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等312?腰直角△ABC,?BAC?90.在第二象限内有一点P(a,)，且△ABP的面积与△ABC的面积相等. 则△ABC的面积是 ;a= 第 2 页 共 4 页 20. Given the area of △ABC is S1 ,and the length of its three sides are3113,9,10 1313respectively. And the perimeter of △A′B′C′ is 18 , its area is S2. Then the relationship between S1 and S2 is S1 S2 . ( fill in the blank with \（英汉词典：area面积；length长度；perimeter周长） 三、解答题每题都要写出推算过程． 21.（本题满分10分） 解方程： 2x?344?x3???? 42x?334?x 22.（本题满分15分） 如图7，等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足MN?BN?AM，将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S． B(1)请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS N(2)求?MCN的度数． C 图7 第 3 页 共 4 页 222MA23．（本题满分15分） 已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形 的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放人的正方形越多越好． (1)如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖 的面积占整个长方形面积的百分比是多少？ (2)如果长方形的长是n(n≥4)，宽是n-2，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方 形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？ (3)对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%.求长方 形边长的所有可能值．（已知0.55?0.74) 第 4 页 共 4 页
第21届希望杯全国数学竞赛八年级试题及答案
