罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型
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2.1 考虑N个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数Y?F?K，AL?，或者（利用密集形式）Y?ALf?k?。设f??·c*??1?s?f?k*?。设所有厂商以工资wA雇用工人，??0， *以成本r租借资本，并且拥有相同的A值。
（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y单位产出的问题。证明k的成本最小化水平
??f??c?c?0?k??＜0cs*f?k*???n?g???kt?Lt?1??1?n?Lt唯一地被确定并独立于Y，所有厂商??因此选择相同的k值。 （b）证明N个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本rK?wAL，同时厂商受到生产函数Y?ALf?k?的约束。这是一个典型的最优化问题。
min??wAL?rKs.t.?? Y?ALf?k?本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：
用第一个结果除以第二个结果：
上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，下面是N个成本最小化厂商的总产量关系式：
单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有L的劳动人数，则它也会生产Y?ALf?k?的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。
（2.43）
设P1与P2表示两个时期的消费价格，W表示个人终生收入值，因此预算约束为PC11?P2C2?W。
（a）给定P1、P2与W，效用最大化个人的C1与C2的选择是什么？
（b）两个时期的消费的替代弹性是??1/P2?/?C1/C2??1/P2????P?????C1/C2?/??P?，或者??ln?C1/C2?/?ln?P1/P2?。证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，C1与C2之间
的替代弹性是
1。 ?答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
s..t?????PC11?P2C2?W （2）
求解约束条件：
C?W/P2?C1P1/P2 （3）
将方程（3）代入（1）中，可得：
（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对C1求一阶条件可得：
再简化为：
C1??1???1/??P2/P1?1/?1/?C2 （5）
将方程（5）代入（3），则有：
C2?W/P2??1????P2/P1?1/??C2?P1/P2?C2?1??1???1/??P2/P1?1??/???W/P2
?再简化为：
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（6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
（7）
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
C1/C2??1???1/??P2/P1?1/? （8）
对方程（8）两边取对数可得：
ln?C1/C2???1/??ln?1?????1/??ln?P2/P1? （9）
则消费的跨期替代弹性为：
因此，?越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）设人们预先知道，在某个t0时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结t0时刻前的消费与t0时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？
（b）设人们预先知道，在t0时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。在t0时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结t0时刻前的消费与t0时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？
答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期?t内，从?t0???到?t0???。 考虑家庭在?t0???时期减少每单位有效劳动的消费为?c。然后他在?t0???投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本u??c前??c，在?t0???会有一收益e????rt?n?g???t?c，财富的回报率为
?rt?n?g???tr?t?，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为?1/2?u??c后?e???总之，?c。
对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：
在?c?0时，有下式：
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因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数u?C?为lnC。考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、r?t?的路径与效用函数参数表示的C的表达式。
注意：
（2.1）
（2.1）中，C?t?是在￡时刻家庭每个成员的消费。u??是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。L?t?是经济的总人口，L?t?/H因此是每个家庭的成员人数。故u?C?t??L?t?／H是t时刻家庭的总瞬时效用。最后，?是贴现率。?越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。
由于每个家庭有L?t?/H个成员，在t时刻其劳动总收入为W?t?L?t?／H，并且其消费支出为C?t?L?t?／H。在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H，或等于K?0?/H。因此，家庭预算为：
（2.6）
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1）
（2）
令
建立拉格朗日方程：
求一阶条件：
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抵消L?t?/H项得：
e??tC?t???e?1?R?t? （3）
可以推出：
C?t??e??t??1eR?t? （4）
将其代入预算约束方程：
（5）
将L?t??entL?0?代入上式：
（6）
只要??n?0，则积分项收敛，为1/???n?，则：
（7）
将方程（7）代入（4）：
（8）
因此，初始消费为：
（9）
个人的初始财富为W/??L?0?／H??，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是???n?为个人的财富边际消费倾向。
独立于利率的。对于折现率?而言，?越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程
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