√
因为??????????=??????????????????=45，
9cos2B＝cos2B﹣sin2B=?，
故sin（2B?4）＝sin2Bcos?cos2Bsin
4
??
??
??4
19=
4√10+√2． 18
PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．
【分析】（Ⅰ）证明MN∥PA，然后证明PA∥平面MNC．
（Ⅱ）以点D﹣xyz为原点建立空间直角坐标系（如图），求出平面MNC的法向量，设直线PB与平面MNC所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． （Ⅲ）求出平面NCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为PN＝ND，DM＝MA，所以MN∥PA， 且PA?平面MNC，MN?平面MNC，则PA∥平面MNC． （Ⅱ）解：因为PD⊥CD，PD⊥AD，且AD∩CD＝D， 所以PD⊥平面ABCD，
则以点D﹣xyz为原点建立空间直角坐标系（如图），设AD＝2，
可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），N（0，0，2），M（1，0，0），P（0，0，4）．
向量????=(??，??，???)，
????=(??，??，???)，????=(???，??，??)．
→
→
→
设??=(??，??，??)为平面MNC的法向量， ???=??即{?????????=??， 则{????→→
???????=?????+????=??
不妨令y＝1，可得??=(??，??，??)为MNC平面的一个法向量， 设直线PB与平面MNC所成角为α， 于是有????????=???????????????=
→→
→→
→
→
→
→→→???????
|??|?|????|
→=． 61
（Ⅲ）解：因为????=(??，??，??)为平面NCD的法向量， 所以???????????????=
→
→
???????
→→→
→|????|?|??|
=3．
√6
18．已知椭圆为??√??．
??2??2
+
??2
的离心率??=2，且右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离=??(??＞??＞??)2??2
√
（Ⅰ）求椭圆的方程；
BD过原点O，（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，若?????????????证明：四边形ABCD的面积为定值．
【分析】（Ⅰ）求出右焦点（c，0）c＞0，到直线x﹣y+2＝0的距离解得c＝2，利用离心率，求出a，然后求解b，即可得到椭圆方程． （Ⅱ）设lAB：y＝kx+m代入
??28
??
=?2，
??2
+
??24
=??，利用韦达定理，通过?????????????
??
=?2，结合
??2
SABCD＝4S△AOB，转化求解即可． 解：（Ⅰ）因为右焦点（c，0）c＞0，
到直线x﹣y+2＝0的距离为d=解得c＝2，
??+2=2√??， √22??222
??=2=??，a＝b+c，??=??√??，??=??，
√
所以
??28
+
??24
=??．
??28
（Ⅱ）证明：设lAB：y＝kx+m，代入得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0， 则????+????=?因为?????????????
4????1+2??
2，?????????=
+
??24
=??，
2??2?81+2??
2，
??
=?2，得x1?x2＝﹣2y1?y2，
??2
即x1?x2＝﹣2（kx1+m）（kx2+m）， 解得m2＝4k2+2， 因为SABCD＝4S△AOB， 且S△AOB=|????|??，
2又|????|=√??+????√(????
+????
)?????????????，??=√
|??|1+??
2，
1
整理得??△??????
116????28(??2?4)=2|??|√?2=??√??， 221+2??(1+2??)
2所以??????????=?????√??=??√??为定值．
19．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是公比大于0的等比数列，且b1
＝﹣2a1＝2，a3+b2＝﹣1，S3+2b3＝7． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
??，??为奇数（2）令cn={?2????，求数列{cn}的前n项和Tn．
，??为偶数????
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
??，??为奇数（2）cn={2???1．对n分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数
，??为偶数???12
列的求和公式即可得出．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q＞0，
且b1＝﹣2a1＝2，a3+b2＝﹣1，S3+2b3＝7．
∴a1＝﹣1，b1＝2，﹣1+2d+2q＝﹣1，3×（﹣1）+3d+2×2×q2＝7， 解得d＝﹣2，q＝2．
∴an＝﹣1﹣2（n﹣1）＝1﹣2n，bn＝2n． ??，??为奇数（2）cn={2???1．
，??为偶数???12
+①n＝2k（k∈一、选择题*）时，数列{cn}的前n项和Tn＝T2k＝（c1+c3+…+c2k﹣1）（c2+c4+…+c2k） ＝2k+（+
23
723
+?+
4???122???1
），
令Ak=2+∴????=
431
3
74???1+?+32???1， 22
323+
725+?+
4???522???1+
4???122??+1，
11
(1?)31114???138???14???1， 4∴Ak=2+??(3+5+?+2???1)?2??+1=2+4×?2??+1222241?124可得Ak=9?2???1． 9×2∴Tn＝T2k＝2k+9?2???1． 9×2
②n＝2k﹣1（k∈N*）时，数列{cn}的前n项和Tn＝T2k﹣2+a2k﹣1＝2（k﹣1）+
12(???1)+139×2
2(???1)?12612??+1326
12??+13
26
?9+2
12??+1
＝2k+9?2???3． 9×2
2612??+13
?2???1，??=????99×2∴Tn={，k∈N*． 2612??+1????+?2???3，??=???????99×2
26
????+
20．已知函数f（x）＝x2+2x+alnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围； （2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．
2
【分析】（1）由f（x）＝x2+2x+alnx（a∈R），知??′(??)=2??+2??+??，设g（x）＝2x2+2x+a，
??由函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a的取值范围． （2）不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3可化为2t2﹣4t+2≥alnt2﹣aln（2t﹣1），即2t2﹣alnt2
≥2（2t﹣1）﹣aln（2t﹣1），令h（x）＝2x﹣alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）＝2x﹣alnx（x≥1）是增函数即可，从而可求实数a的取值范围． 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞） ∵f（x）＝x2+2x+alnx
2
∴??′(??)=2??+2??+??（x＞0），
??设g（x）＝2x2+2x+a，则g（x）=(??+)???+??，
22∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数， ∴g（0）≥0，或g（1）≤0， ∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤﹣4}．
（2）不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3可化为2t2﹣4t+2≥alnt2﹣aln（2t﹣1） ∴2t2﹣alnt2≥2（2t﹣1）﹣aln（2t﹣1）
令h（x）＝2x﹣alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t﹣1） ∵t≥1，∴t2≥2t﹣1
要使上式成立，只需要h（x）＝2x﹣alnx（x≥1）是增函数即可
即h′（x）＝2???≥在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2 ∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
??
11
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (Word 含解析)
