第四节 指数与指数函数
突破点一 指数幂的运算
[基本知识]
1．根式 (1)根式的概念
若x＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
n*
n?x＝ na
x＝a??
?x＝±nan当n为奇数且n>1时，当n为偶数且n>1时.
nmn
2．有理数指数幂
正分数指数幂：a幂的有关概念 负分数指数幂：amn＝a(a＞0，m，n∈N，且n＞1) ＝1＝1(a＞0，m，n∈N，且n＞1) *m*－amnnam0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q) 有理数指数幂的性质 (a)＝a(a＞0，r，s∈Q) (ab)＝ab(a＞0，b＞0，r∈Q) [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)
4
－a244
rsrsrrr＝－a.( )
12(2)(－a)＝(－a)＝－a.( ) (3)(a)＝a.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题
nn?1?1．计算：π＋2×?2?2＝________. ?4?
0
－2
1 1
11答案：
82．设a>0，将
a2a·a2
3
表示成分数指数幂的形式，其结果是________．
解析：
a2
3
＝
a2a·a23＝
a2a53＝
a2
51×32＝a·a2
?56＝a2?56＝a.
76a·a2
答案：a 3．若解析：
2a－12a－1
2
a76＝
2
3
1－2a3
，则实数a的取值范围为________． 1－2a3
＝|2a－1|，
3
＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a. 1
故2a－1≤0，所以a≤.
21??答案：?－∞，? 2??
指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[典例] (1)a3a·a4
5
(a>0)的值是( )
A．1 C．a
115B．a D．a1710
3?01??2??－20.5
(2)?2 ?＋2·?2 ?－(0.01)＝________. ?5??4?[解析] (1)a3
＝
a3
1245＝a143--25＝a1710.故选D.
5
a·a4a·a 2
1?4?1211116?1?(2)原式＝1＋×??2－??2＝1＋×－＝1＋－＝. 4?9?431061015?100?16
[答案] (1)D (2)
15[方法技巧]
化简指数幂常用的技巧
(1)??＝??(ab≠0)； (2)a＝
11?b?－p?a?p?a??b?
1m(a)，amnm＝(a)(式子有意义)；
－1
1mn(3)1的代换，如1＝aa,1＝a
?12a等；
12(4) 乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)＝a±2ab＋
1212121212122
1212b，(a±b)(a?ab＋b)＝a±b.
[针对训练]
1313231313231．化简
a·b23－1
?12·a?12·b13(a>0，b>0)的结果是( )
6
A．a C．ab
2
a·b5
B．ab 1D. a解析：选D 原式＝
a-13baab1612?5612b13＝a111---326·b115+-2361＝.
a111abc2．(2019·江西百校联盟联考)已知14＝7＝4＝2，则－＋＝________.
abc解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4， 则2
11?ab1a1b1c14
＝＝2， 7＝2×4＝2，
3
∴2
111??abc111
∴－＋＝3.
abc答案：3
3
2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案
