2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)
理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A?{x?R|x|?2}},B?{x?Z|x?4},则A?B?
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数z?3?i，z是z的共轭复数，则z?z= 2(1?3i)11 (B) (C) 1 (D)2 42x(3)曲线y?在点(?1,?1)处的切线方程为
x?2(A)
(A)y?2x?1 (B)y?2x?1 (C) y??2x?3 (D)y??2x?2 (4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的P0(2,?2)，函数图像大致为
d2tOπ4
A B C D
(5)已知命题
p1：函数y?2x?2?x在R为增函数， p2：函数y?2x?2?x在R为减函数，
则在命题q1：p1?p2，q2：p1?p2，q3：??p1??p2和q4：p1???p2?中，真命题是
（A）q1，q3 （B）q2，q3 （C）q1，q4 （D）q2，q4
(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 (A)100 （B）200 (C)300 （D）400
(7)如果执行右面的框图，输入N?5，则输出的数等于
开始输入Nk=1,S=0S=S+1k(k+1)54(A) （B）
4565(C) （D）
56(8)设偶函数f(x)满足f(x)?x3?8(x?0)， 则{x|f(x?2)?0}?
(A) {x|x??2或x?4} (B) {x|x?0或x?4} (C) {x|x?0或x?6} (D) {x|x??2或x?2}
k=k+1是k 1?tan1?tan??2? 2(A) ?1 21 2 (C) 2 (D) ?2 (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) ?a 2(B) 72?a 3 (C) 112?a (D) 5?a2 3?|lgx|,0?x?10,?(11)已知函数f(x)??1若a,b,c互不相等，且f(a)?f(b)?f(c),则abc ?x?6,x?10.??2的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (12)已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两 点，且AB的中点为N(?12,?15),则E的方程式为 x2y2x2y2??1 (B) ??1 (A) 3645x2y2x2y2??1 (D) ??1 (C) 6354第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． (13)设y?f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0?f(x)?1，可以用随机模拟方法近 似计算积分 ?10f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数 x1,x2,…xN和y1,y2,…yN，由此得到N个点(xi,yi)(i?1,2,…,N)，再数出其中满 足yi?f(xi)(i?1,2,…,N)的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分近似值为 。 (14)正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种） (15)过点A(4,1)的圆C与直线x?y?1?0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为____ (16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD??10f(x)dx的 1DC，?ADB=120°，AD=2，若△ADC2的面积为3?3，则?BAC=_______ 三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列?an?满足a1?2,an?1?an?3?22n?1 （1）求数列?an?的通项公式； （2）令bn?nan，求数列的前n项和Sn (18)（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD， AC?BD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点 （1）证明：PE?BC （2）若?APB??ADB?60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 (19)(本小题12分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 男 是否需要志愿 需要 不需要 40 160 30 270 女 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助 的老年人的比例？说明理由 n(ad?bc)2附：K? (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2…k) k （20）（本小题满分12分） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 x2y2l设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线 ab与E相交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列。 （1）求E的离心率； （2） 设点P(0,?1)满足PA?PB，求E的方程 （21）（本小题满分12分） 设函数f(x)?e?1?x?ax。 （1）若a?0，求f(x)的单调区间； （2）若当x?0时f(x)?0，求a的取值范围 x2请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧AC?BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： （Ⅰ）?ACE=?BCD； （Ⅱ）BC=BE ×CD． （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线C1： ?（Ⅰ）当?= 2?x?1?tcos??x?cos?（?为参数）． (t为参数)，圆C2??y?tsin??y?sin??时，求C1与C2的交点坐标： 3（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当?变化时，求 P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)=2x?4?1． （Ⅰ）画出函数y?f(x)的图像： （Ⅱ）若不等式f(x)?ax的解集非空，求a的取值范围
2010年高考新课标全国卷理科数学试题（附答案）
