浙江大学数学分析19992008

浙江大学数学分析19992008

浙江大学1999年研究生数学分析试题

n(nn?1)(n??) 一．求极限Limlnn二．在xy平面上求一点，使它到三条直线x?0,y?0及x?2y?16?0的距离平

方和最小

三．计算二重积分??xydxdy，其中D由曲线 x2?y2?x?y 所围城的区域

D四．设f(x)在x?0时连续，f(1)?3，并且?f(t)dt?x?f(t)dt?y?f(t)dt，

111xyyx(x?0,y?0)，试求函数f(x)

五．设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，则对A，B之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得Limf(zn)??

六．设0?ak?a,k?1,2,....,n令sn??ak，证明不等式?k?1naknsn? n?snk?11?akn七．设函数f在[a,b]上连续，且f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?b?a，试证明：n1bLimnf1nf2n?fnn?exp{lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下式

b?a?a12?ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr (r?1) ?2?0111八．从调和级数1???????中去掉所有在分母的十进表示中含数码9

23n的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的

浙江大学2000年研究生数学分析试题

e?(1?x)

x?0x1x一．（共10分）(1)求极限lim解：原式=limx?0(1?x)ln(1?x)?xx(1?x)2(1?x)?1xe2

(2)设x0?a,x1?b,xn?xn?2?xn?1,n?2,3,2,求limxn

n??解：xn?xn?1??12(xn?1?xn?2)，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以

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下求解就按照{xn?xn?1}这个数列来进行即可。 二．（共10分）1．设f‘(0)?K,试证明lim?a?0b?0?f(b)?f(a)?K

b?a证： lim?a?0b?0?f(b)?f(a)f(b)?f(0)?f(0)?f(a)?lim????K a?0b?ab?a?b?02．设f(x)在[a,b]上连续，f??(x)在(a,b)内存在，试证明存在??(a,b)，使

a?b(b?a)2)?f??(?) 得f(b)?f(a)?2f(24分析：考虑函数F(x)?f(x?a?b2?)?f(x)即可

三．（共15分）1．求数项级数

2．试证明s(x)????n?1n的和S 分析：S=2S-S 2n1x在(1,?)上的连续函数 n?1n?x?y?u?v?0?u?u(x,y)四．（共15分）设方程组?，确定了可微函数?，试

?xsinu?ysinv?0?v?v(x,y)求du,?v?v, ?x?y分析：用隐函数组的方法求解； 1．设F(y)??yycos(x2y)dx，求F?(1) x0ycosxyx2分析：

F(y)??ydx??0cosxyx21dx??0cosy2t2?cosy3t2tdt

五．（共30分） 1．计算定积分I??2?0xsincosxdx 21?cosx为顶，以平面z?0为底，以柱面x2?y2?1为侧面的曲顶

分析：令t=cosx，I=0。 2．求以曲面z?e?x柱体的体积V

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分析：V???zdxdy，其中z?e?xD2?y2，D={(x,y)| 0?x2?y2?1}.

3．设??表示半球面z?1?x2?y2(x2?y2?1)的上侧，求第二类曲面积分

J?????(x?y)z2dydz?(x2y?2z)dzdx?(2x?z)y2dxdy

2?分析：使用高斯公式，则J=3.

六．（共20分）1．将函数f(x)?x (???x??)展开成Fourier级数 分析：直接使用Fourier的定义公式； 2．级数?1的和 2nn?1?分析：使用幂函数中的公式求解；

13．计算广义积分?12ln(1?x)dx x0112ln(1?x)ln(1?x)ln(1?x)dx+?dx+dx=lim[?分析：原式=???0xxx10?21???12ln(1?x)dx] x浙江大学2001年研究生数学分析试题

n2n+11= 一、（共30%）（A）.（10%）用“ε-N语言”证明lim233n→∞3n+2n（B）.(10%)设f(x)在x0附近有定义且在x0处不连续，试给出不连续点的分类（名

称及定义）；若f在x0的一个领域内处处可导，问f/(x)的不连续点又可分为哪几类。为什么？

（C）.(10%)设f(x,y)为二元函数，在(x0,y0)附近有定义，试讨论二重极限

limf(x,y)与累次函数limf(x,y)之间的关系，必要时，请给出反例。

x→x0y→y0x→x0y→y0二、（共30%）

（A）.(5%)求limsin2(πn2+n)

n→∞（B）.(5%)求

lim(2x→1x)tgπx2

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