第五章
5.1 设总体 x 是用无线电测距仪测量距离的误差,它服从( α,β)上 的均
匀分布,在 200次测量中,误差为 xi 的次数有 ni次:
Xi:3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Ni:21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
求 α, β的矩法估计值
α=u- 3s β=u+ 3s
程序代码:
x=seq(3,21,by=2)
y=c(21,16,15,26,22,14,21,22,18,25) u=rep(x,y) u1=mean(u) s=var(u) s1=sqrt(s) a=u1-sqrt(3)*s1
b=u1+sqrt(3)*s1b=u1+sqrt(3)*s1
得出结果:
a= 2.217379 b= 22.40262
5.2 为检验某自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取
50L,化验每升水中大肠杆菌的个数 (假设 1L 水中大肠杆菌的个数服 从泊松分布),其化验结果如下表所示:试问平均每升水中大肠杆菌
个数为多少时,才能使上述情况的概率达到最大 大肠杆菌数 /L:0 1 2 3 4 5 6 水的升数: 17 20 10 2 1 0 0
γ=u 是最大似然估计
程序代码:
a=seq(0,6,by=1) b=c(17,20,10,2,1,0,0) c=a*b d=mean(c)
得出结果:
d= 7.142857
5.3 已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布,现对十个试件做横纹 抗压力
试验,得数据如下: 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 ( 1)求
u 的置信水平为 0.95 的置信区间 程序代码: x=c(482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 ) t.test(x)
得出结果:
data: x
t = 6.2668, df = 9, p-value = 0.0001467 alternative hypothesis: true
mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 7.668299 16.331701 sample estimates: mean of x 12
由答案可得:u的置信水平为 0.95 的置信区间 [7.668299 16.331701] ( 2)求 σ 的置信水平为 0.90 的置信区间
程序代码: chisq.var.test<-function(x,var,alpha,alternative=\
options(digits=4) result<-list() n<-length(x) v<-var(x) result$var<-v chi2<-(n-1)*v/var result$chi2<-chi2 p<-pchisq(chi2,n-1) result$p.value<-p if(alternative==\
result$p.value<-pchaisq(chi2,n-1,loer.tail=F) else
if(alternative==\pchaisq(chi2,n-1,lower.tail=F)) result$conf.int<-c(
(n-1)*v/qchisq(alpha/2,df=n-1,lower.tail=F), (n-1)*v/qchisq(alpha/2,df=n-1,lower.tail=T)) result
}
x<-c(482,493,457,471,510,446,435,418,394,469) y=var(x)
chisq.var.test(x,0.048^2,0.10,alternative=\
得出结果:
$conf.int : 659.8 3357.0
由答案可得: σ 的置信水平为 0.90 的置信区间 [659.8 3357.0]
5.4 某卷烟厂生产两种卷烟 A和 B 现分别对两种香烟的尼古丁含量进 行 6
次试验,结果如下:
A:25 28 23 26 29 22 B:28 23 30 35 21 27
若香烟的尼古丁含量服从正态分布
( 1)问两种卷烟中尼古丁含量的方差是否相等 (通过区间估计考察) ( 2)试求两种香烟的尼古丁平均含量差的 95%置信区间
(1)
程序代码:
X=c(25,28,23,26,29,22) Y=c(28,23,30,35,21,27) Var.test(x,y) 得出结果:
F test to compare two variances data: x and y
F = 0.2992, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.2115 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equa l to 1 95 percent confidence interval:
0.04187 2.13821 sample estimates: ratio of variances
0.2992 由答案可得:其方差不相等,方差区间为 [0.04187
2.13821] (2)
5.5 比较两个小麦品种的产量,选择 24 块条件相似地实验条,采用 相同的
耕作方法做实验,结果播种甲品种的 12 块实验田的单位面积 产量和播种乙品种的 12 块试验田的单位面积产量分别为:
A: 628 583 510 554 612 523 530 615 573 603 334 564
B: 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 338 547 假定每个品种的
单位面积产量服从正态分布,甲品种产量的方差为
2140,乙品种产量的方差为 3250,试求这两个品种平均面积产量差
的置信水平为 0.95 的置信上限和置信水平为 0.90 的置信下限 程序代码:
two.sample.ci=function(x,y,conf.level=0.95,sigma1.sigma2) {options(digits=4)
m=length(x); n=length(y) xbar=mean(x)-mean(y) alpha=1-conf.level zstar=qnorm(1-alpha/2)*(sigma1/m+sigma2/n)^(1/2) xbar+c(-zstar, +zstar)
}
x=c(628,583,510,554,612,523,530,615,573,603,334,564)
y=c(535,433,398,470,567,480,498,560,503,426,338,547) sigma1=2140
sigma2=3250 two.sample.ci(x,y,conf.level=0.95,sigma1.sigma2) 得到结
果: 31.29 114.37
程序代码: two.sample.ci=function(x,y,conf.level=0.95,sigma1.sigma2)
{options(digits=4) m=length(x); n=length(y)
xbar=mean(x)-mean(y) alpha=1-conf.level zstar=qnorm(1-
alpha/2)*(sigma1/m+sigma2/n)^(1/2) xbar+c(-zstar, +zstar) x=c(628,583,510,554,612,523,530,615,573,603,334,564)
}
y=c(535,433,398,470,567,480,498,560,503,426,338,547) sigma1=2140 sigma2=3250
two.sample.ci(x,y,conf.level=0.90,sigma1.sigma2) 得到结果: 37.97 107.69
5.6 有两台机床生产同一型号的滚珠,根据以往经验知,这两台机床 生产的
滚珠直径都服从正态分布, 现分别从这两台机床生产的滚珠中 随机地抽取
7 个和 9 个,测得它们的直径如下: 机床甲: 15.2 14.5 15.5 14.8 15.1 15.6 14.7
机床乙: 15.2 15.0 14.8 15.2 15 14.9 15.1 14.8 15.3 试问机床乙生产的滚珠的方差是否比机床甲生产的滚珠直径的方差 小? 程序代码: x=c(5.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7)
y=c(15.2,15.0,14.8,15.2,15,14.9,15.1,14.8,15.3) var.test(x,y) 得出结果: F test to compare two variances data: x and y
F = 430.1, num df = 6, denom df = 8, p-value = 2.723e-09 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equa l to 1
95 percent confidence interval: 92.47 2408.54 sample estimates: ratio of variances
430.1 由结果可得:其甲机床的滚珠半径远超出乙机床的滚珠半径
5.7 某公司对本公司生产的两种自行车型号 A,B 的销售情况进行了 了解,
随机选取了 400 人询问他们对 A B的选择,其中有 224 人喜欢 A,试求顾客中喜欢 A的人数比例 p 的置信水平为 0.99 的区间估计。 方程代码:
Binom.test(224,400,conf.level=0.99)
得出结果:
Exact binomial test
data: 224 and 400
number of successes = 224, number of trials = 400, p-value = 0.01866
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
99 percent confidence interval: 0.4944077 0.6241356 sample estimates: probability of success
0.56
由结果可得:顾客中喜欢 a的人数比例 p的置信水平为 0.99 的区间计: [0.4944077 0.6241356]
估
5.8 某公司生产了一批新产品,产品总体服从正态分布,现估计这批 产品的
平均重量, 最大允许误差为 1,样本标准差 s=10,试问在 0.95 的置信水平下至少要抽取多少个产品 程序代码:
Size,norm2=function(s,alpha,d,m) {t0=qt(alpha/2,m,lower.tail = FALSE) n0=(t0*s/d)^2
t1=qt(alpha/2,n0,lower.tail = FALSE) n1=(t1*s/d)^2 while(abs(n1-n0)>0.5){
n0=(qt(alpha/2,n1,lower.tail = FALSE)*s/d)^2 n1=(qt(alpha/2,n0,lower.tail = FALSE)*s/d)^2 n1
}
Size.norm2(10,0.01,2,100)
得出结果: 98.44268
由结果可得,在 0.95 的置信水平下至少要抽取 99 个产品
5.9 根据以往的经验,船运大量玻璃器皿,损坏率不超过 5%,现要估 计某
船中玻璃器皿的损坏率,要求估计与真值间不超过
1%,且置信
水平为 0.90 ,那么要抽取多少样本验收可满足上诉要求 程序代码:
size.bin=function(d,p,conf.level){ alpha=1-conf.level
((qnorm(1-alpha/2))/d)^2*p*(1-p)
}
size.bin(0.01,0.05,0.90)
得出结果:
1285.133
由结果可得:要抽取}
个样本验收可满足上诉要求 1285