专题：解析几何中的动点轨迹问题

专题：解析几何中的动点轨迹问题

学大苏分教研中心 周坤

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK，不废话了，开始进入正题吧...

Part 1 几类动点轨迹问题

一、动线段定比分点的轨迹

例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在段AB上，AP??PB(??0)，求点P的轨迹。 解：设P?x，y?，A?a，0?，B?0，b?，?x?????y???a???0?a??1???x1???，?1???y

0???b?b???1???代入a2?b2?25

?1???x2252x?2?1????22y2?25

y2?25?22?1

2?1????1???

①当??1时，点P的轨迹是圆x2?y2?25 ；4②当??1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆;

③当0???1时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；

例2 已知定点A(3,1),动点B在圆Ox2?y2?4上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.

解：设P?x，y?，B?x1，y1?，有AB??3BP

?3???3?x?x1?1???3?? ??y?1???3?y?11???3??3x?3?x???12 化简即：??y?3y?1??12代入x12?y12?4

?3x?3??3y?1?得??????4 ?2??2?1?16?所以点P的轨迹为?x?1???y???

3?9?2222

二、两条动直线的交点问题

例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线l:y?x，设长为2的线段AB在l上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程 解：设M?x，y?，A?t，t?，B?t?1，t?1?， PM??x?1，y?3?，PA??t?1，t?3?，

QM??x?1，y?3?，QB??t?1?1，t?1?3?，?PM//PA，QM//QB，

???x?1??t?3???t?1??y?3? ??x?1t?2?ty?3????????3x?y?t??x?y?4? ? ?t?2x?2?x?y?2?3x?y2x?2?

x?y?4x?y?2?3x?y??x?y?2???x?y?4??2x?2?

y2?x2?8

x2y2例4 已知A1、A2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个顶点，线段MN为垂直于实轴

ab的弦，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹

解：设P?x，y?，M?x1，y1?，N?x1，?y1?，A1??a，0?，A2?a，0?，??kA1P?kA1M ???kA2P?kA2Ny1?y??x?ax?a?1 ??y1?y???x?ax1?ay1?y1yy??? x?ax?ax1?ax1?ay12y2 ??2x2?a2x1?a2x12y12?2?1 a2b