.
二．课后练习：
1、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE
A⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F， 求证：EB=FC
2、已知：如图12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，求证：（1）AB∥CD；（2）AE=CF。 (7分)
.
EFBDCE，F是垂足，DE=BF。 D C
F E
A B
.
3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。
（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。 (8分)
第十四讲 角的平分线的性质
（一）知识要点
1、角的平分线的性质及其推导
角的平分线上的点到角的两边距离相等。
已知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，
.
A
D
C P
O E B
PD
.
⊥OA于点D，PE⊥OB于E，如右图所示，则PD=PE。
角的平分线的性质的推导：
已知，如上右图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
0
∴∠ODP=∠OEP=90（垂直的定义） 又∵OC平分∠AOB（已知）
∴∠AOC=∠BOC（角的平分线定义） 在Rt△DOP和Rt△EOP中
??AOC??BOC???ODP??OEP ?OP?OP?∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 知识延伸：角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等，但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形全等而走弯路。 2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定） A
角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
D 如右图，点P在∠AOB部的一条射线OC上，并且PD⊥C OA于点D，PE⊥OB于E，PD=PE，则射线OC是∠AOB的平P 分线。
规律方法小结：（1）角平分线的性质及其逆用的关系： O E B
性质
点在角的平分线上点到角的两边距离相等 性质的逆用
（2）对于角的平分线的性质及其逆用，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“性质的逆用”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，性质的逆用是证两角相等的依据。
角的平分线的判定的推导：
已知：如右上图，点P在∠AOB部的一条射线OC上，并且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PD=PE。求证：射线OC是∠AOB的平分线。
0
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=90（垂直的定义）
在Rt△DOP和Rt△EOP中，??OP?OP
?PD?PE∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）
∴∠DOP=∠EOP（全等三角形的对应角相等） 即射线OC平分∠AOB
知识延伸：逆用角平分线的性质可帮助我们证明角相等，使证明过程简化，需要注意的是：在推导过程中应注意垂直关系的书写，指明垂直线段，并由垂线段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等了。
C D .
A E B .
（二）典型例题
0
例1：在△ABC中，∠C=90，AD是∠BAC的平分线，若DC=6，则D点到AB的距离是_______________。
例2：如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB。
求证：EA=EB
O
C D
E
A B
例3.如图，在△ABC中，∠A=90o，AC=AB，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，已知BC=10cm，求△EDC的周长．
例4：如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。
A 求证：∠1=∠2
1 2
D E
O
B C
例5：如图所示，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD。求证：PM=PN B
M
D
P
N
O
A
.
.
规律·方法：运用脚平分线的性质解题时，应注意两点：（1）应注意交代清楚角平分线及角平分线上的点到角两边的距离这两个方面，既不允许心里想到而不书写其过程，更不允许在条件不具备时而得到线段相等的结论；（2）运用角平分线时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段相等，以免走回头路。
例6：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，那么EF与AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。
A
E O
F
B D C
规律·方法：数形结合思想，是将“数”与“形”结合在一起探索研究，进一步解决问题的一种思想方法。
例7：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。
0
求证：∠A+∠C=180。 D
A
C
B
解题策略：解与角平分线的性质和识别方法的综合题时，应注意分析题目特点，通过适当添加辅助线，挖掘其中隐含的条件，获得问题的答案。
解题方法及技巧小结：在运用角平分线的性质时若缺少垂直条件可适当作出垂线段。
(三)练习
1．如图，在△ABC中，已知∠C=90o，AD平分∠CAB，BC= 8cm，BD= 5cm，那么点D到直线AB的距离是 cm．
.
七升八数学暑假衔接
