高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知点A(?2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：PA?(?2?x,?y),PB?(3?x,?y) ，?PA?PB?(?2?x)(3?x)?y2
2?x2?x?6?y2. 由条件，x2?x?6?y2?x2，整理得y2?x?6，此即点P的轨迹
方程，所以P的轨迹为抛物线，选D. 二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2 已知?ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，若a,c,b依次构成等差数列，且a?c?b，AB?2，求顶点C的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，a,c,b构成等差数列，?2c?a?b，
A O B x C y 即|CA|?|CB|?2|AB|?4，又CB?CA，?C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，
x2y2??1(x?0,x??2). a??2,c??1，b??3，故C的轨迹方程为43三、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也
称相关点法、转移法. y P 22例3 如图，从双曲线C:x?y?1上一点Q引直线 Q N l:x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.
O x 解：设P(x,y)，Q(x1,y1)，则N(2x?x1,2y?y1).?N在直线l上，
?2x?x1?2y?y1?2.① 又PN?l得
y?y1?1,即x?y?y1?x1?0.②
x?x11 / 3
3x?y?2?x?3x?y?223y?x?22?12联解①②得?.又点在双曲线上，Q?()?()?1，C?22?y?3y?x?21?2?化简整理得：2x?2y?2x?2y?1?0，此即动点P的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点A(?3,2)、B(1,?4)，过A、B作两条互相垂直的直线l1和l2，求l1和l2的交点M的轨迹方程.
解：由平面几何知识可知，当?ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点(?1,?1)，半径为
22152AB?，方程为22(x?1)2?(y?1)2?13. 故M的轨迹方程为(x?1)2?(y?1)2?13.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y?2px（p?0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k?0)，则直线OB的斜率为?21.直线OA的方k?x??y?kx??程为y?kx，由?2解得??y?2px?y???2pk2，即A(2p,2p)，同理可得B(2pk2,?2pk).
k2k2pkp?2x??pk?2k2由中点坐标公式，得?，消去k，得y?p(x?2p)，此即点M的轨迹方程. ??y?p?pk?k? 六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x2y2例6 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线2?2?1于
aby M P A1 O A2 N x M、N两点，A1,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1M与
A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
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解：设P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,?y1)，又A1(?a,0),A2(a,0)，可得 直线A1M的方程为y?y1?y1(x?a)①；直线A2N的方程为y?(x?a)②. x1?ax1?ax12y12?y12b22222①×②得y?2代入③得(x?a)③. 又?2?2?1,??y1?2(a?x12)，2abax1?a2b22x2y22y??2(x?a)，化简得2?2?1，此即点P的轨迹方程. 当a?b时，点P的轨
aab2迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当a?b时，点P的轨迹是椭圆.
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