提炼“3R图式”巧解中考试题
问题 如图 1,已知ZB = ZC=ZAED=90° ,求证：RtAABE^RtAECD (证明略).
图1
图3
在教学中，我们经常会遇到图1的情形，这是一个基本图形.因为在此图中含有三个 直角
（ZB = ZC=ZAED = 90° ）,所以我们将它简称为“3R图”.由上面问题的证明可 以知道，3R图的核心是由三个直角得到一对相等的锐角：ZBAE=ZDEC,从而有一对 相似三角形：RtAABE-RtAECD,利用相似三角形的性质可解决一类相关问题，若将3R 图中一个直角旋转，或者将三个直角改为三个相等的角，仍然有类似的结论.请看下面两 个变式（请读者自己完成
证明）.
变式1如图2, ZBCA = 90° ,经过顶点C画一条直线CD, E, F分别是直线CD 上两点，且
ZCEB = ZCFA=90° ,求证：△BCEs/\\CAF； 变式2如图3,若点B, E, C在同一条直 线上，并且ZB = ZC=ZAED,求证：Z\\BAE \△CED ?
图2可以称为“旋转3R图”，图3可以看做是图1中直角的一般化，不妨简称为“一 线三等角”图，我们将3R图、旋转3R图和一线三等角图统称为“3R图式”.在图形计算、 儿何证明、画图以及函数综合题中，往往需要及时、准确地提炼出3R图式，这样可以化 繁为简、达到事半功倍的目的.试以中考试题说明如下.
例1如图4,点B在线段AC上，点D, E在AC同狈ij, ZA=ZC=90° , BD1BE, AD = BC. ⑴求证：AC = AD+CE；
（2）若AD = 3, CE=5,点P为线段AB上的动点（点P与A, B两点不重合），连结
DP
DP,作PQ丄DP,交直线BE于点Q,求莎的值.
析解（1）：?BD丄BE,显然AABD和ACEB构成一个3R图，由AD=BC,可以证明
AABD^ACEB,?*.AB=CE, 贝ij AC = AD+CE.
(2)如图4,过点Q作QH丄BC于点H,利 用3R图，得 AADP^AHPQ, ??? QH H EC、
BH
图4
BC
设AP =x,QH = 则有竽=于，
??? BH =苓
PH = AH - AP = AB + BH - AP
詔+5“
\
3
=p
_三
BP(x -5)(3y -5%) = 0.
又?.?P不与重合，
.?. % M 5,即兀 一 5 H 0, /. 3y - 5x = 0, DP x 3
…PQ 一厂5?
例2在直角坐标系中，点A是抛物线y = x?在第二象限内的点，连结OA,过点O作 OB丄OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图5,当点A的横坐标为 ________ 时，矩形AOBC是正方形；
(2)如图6,当点A的横坐标为一丄时， 2
① 求点B的坐标；
② 将抛物线y = x?作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=—xS试判断抛物线y=— X?经
过平移变换后，能否经过A, B, C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以, 请说明理由.
析解(1)如图5,过点A作AD丄x轴于点D.设点A的坐标为(一a, a),贝ij
(—a) 2 = a,解得 ai = 1, a2=0 (舍去)，
???答案为一1.
(2)①如图6,过点A作AE丄x轴于点E,过点B作BF丄x轴于点F. 1 < 1 A2 |
当 x=__ 时，y= — =_,
2 ' I 2丿 4
.当- y 时』=(_*)2=占-, 即 0E =
= *?
由3R图可以知道△人EO s △OFB,
??? OF： AE = BF： OE.
设 OF 二 t,则 EF = 2f,B(t,2\
2t = l29 t =2,
???点B(2,4)?
过点C作CG丄BF于点G,由3R图可以 知道
△BGC s △OFB,.?.厶AEO s △BGC.
?.? BC = AO,??? AAEO竺 厶BGC,
:.CG = OE = y,BG = AE 二*,
???点&*，￥)?
设 y =-x2 平移后过 A(- *,*)、B(2,
4)两点的抛物线为
2y = - ? + bx + c?
由题意，得
1 1人丄 1
■
-4+26+c 二 4,
解得 6 = 3,c = 2,
:.y = - x + 3% + 2
顶点恰好是c（斗￥），
Q
17
故将抛物线y=—X?向右平移？个单位，再向上平移乂个单位得到抛物线
2 4
y=—（L 討+号,
同时经过A、B、C三点.
点评 在问题(2)的解决中，充分利用了 3R图式.①中先利用3R图得LBAAOE^A OBF.再用比例线段解决问题.②中利用3R图式，得出△ AEO竺△BGC,从而将分散的 几个点A, O,
B, C的坐标有机地联系起來，起到了化腐朽为神奇的作用！
例3如图7,等腰梯形ABCD中，AD//BC, ZB=45° , P是BC边上一点，APAD 的面积为丄，设AB = x, AD=y.
2
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) 若ZAPD=45° ,当y=l时，求PB?PC的值.
析解(1)如图7,过点A作AE丄BC于点E,在R1AABE44，
ZB=45° , AB = x,
*?* * AE =—, ? 1 Q 1 近 ?* 2 y 2X 2/
(2)这是一个一线三等角图.
??? LAPC = LAPD + 厶 CPD
二乙B + 乙 BAP.
又厶APD = ZB = /C 二 45°, ???乙BAP =乙CPD,
&B =空 ??? PB ? PC 二 AB2. PC DC9
??? bABP s APCD,
当y = 1时卫二即43 =竝、
??? PB ? PC = (Ji)? = 2.
点评 解决这道题的关键是提炼出一线三等角图(ZAPD=ZB = ZC=45° ),问题 便可迎刃而解！
2
例4如图8,正方形A|B|P|P2的顶点PI、P?在反比例函数y=—(x>0)的图象上， x
顶点街、Bi分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反
2
比例函数y=二(x>0)的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 ___________ ?
x
分析 这是一道难度较大的问题，本题的关键是找到比、P2、P3三个点坐标之间的关 系，许多学生想到用P】、P2关于直线y = X的对称性，但不知道它们为何是对称的?P2、P.3 的关系如何更是无从下手！本题如果利用3R图和旋转3R图解决，则十分简便.
解 过点P1作P1E丄y轴于点E,过点P2作P2F丄X轴于点F,过点P3作P3G丄P?F于 点
G,过点P3作P3H±X轴于点H,利用3R图，易知
APIBIE^ABIAO^AAPJF.
利用旋转3R图，易知 设
，则 B\\ (0,a), ￡ ( — a,0),
???—(—-a) = 2,解得 a = 1, a \\ a / 几(1,2),卩2(2,1)?
设匕卩，壬)，I卩心PE
??? b - 2 =寻，解得b
b =73+1.
故答案是P3 (巧+1, A/3 — 1).
点评 本题利用辅助线，构造了三个3R图式(2个3R图，1个旋转3R图)P2、P3三个点的坐标之间联系起來，充分体现了解决数学难题的整体性原则.
，将匕、
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