无穷小量】.
xy24.证明极限lim不存在.
?x,y???0,0?x2?y4【证】（一）让动点P?x,y?沿直线y?0趋于点O?0,0?时，
x.02xy2?lim2?0. lim2x?0x?04x??0?x?y4y?0 （二）让动点P?x,y?沿抛物线y2?x趋于点O?0,0?时，
xy2x.x1 lim2. ?lim?x??0?x?y4x?0x2?x22y2?x
习题8.2
1.证明：函数f?x,y??4x4?y4在原点?0,0?处连续，但不存在偏导数fx??0,0?，
fy??0,0?.
【证明】 （一）因为
?x,y???0,0?limf?x,y??0?f?0,0?，所以，f?x,y?在?0,0?处连续.
44??x??04?0f?0??x,0??f?0,0?（二）因为lim ?lim?x?0?x?0?x?x ?lim?x?0?x?x不存在，所以不存在偏导数fx??0,0?；
由轮换对称性知，也不存在偏导数fy??0,0?. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.
（1）z?x3y?y3x； （2）z?lnxy；
y（3）z?exsinxy； （4）z?arctan；
xxey（5）z??1?xy?； （6）z?2.
yy【解】
（1）
?z?z?x3?3y2x . ?3x2y?y3；?y?x（2）因z?lnx?lny，故
?z1?z1?. ?；
?xx?yy（3）
?z?z?xexcosxy ?exsinxy?yexcosxy； ?y?x?x2?y??x?22?x?y2?y??x?1????x?1?y??2?x?y???1????x?y?z?（4）?xy?y?； ??2???22x?y?x??z??x1?yx2?2x?y2x?1?. ???22xx?y??（5）z??1?xy??eyln?1?xy?；
??1??y2?zy?1?yln?1?xy?yln?1?xy??????1?xy ； y.y?yln?1?xy??x?e?e????1?xy?x1?xy????
??1???z???eyln?1?xy??yln?1?xy??y?eyln?1?xy??ln(1?xy)?y?.x? ???y?1?xy???xy?y?1y?????1?xy?ln(1?xy)?xy?. ?1?xy??1?xy??ln(1?xy)??1?xy???zey?zeyy2?ey.2yxeyy2?2yxey?y?2?（6）. ?2；?x??443?xy?yyyy?x2?y2,?z?3.求曲线?:?在点M0?2,4,5?处的切线方程及切线对于x轴的倾角的4?y?4,?度数. 【解】
（一）?的参数方程为
??x?x,??: ?y?4,?2x?16?z?4???（x为参数）.
点M0对应参数x?2，故切向量为
x??1,0,1?. s切??1,0,?|??x?22??所以，点M0?2,4,5?处的切线方程为
x?2y?4z?5. ???101??x2?y2?x?（二）因为fx??2,4????x|?4?(2,4)2|?2,4??1，所以切线对于x轴的倾角的度
?? 数为??arctan1?. 44.求下列函数的所有二阶偏导数.
（1）z?sin?2x?3y?； （2）z?x4?4x2y2?y4； （3）z?2xy； （4）z?x2arctan【解】 （1）
?z?z?3cos?2x?3y?； ?2cos?2x?3y?； ?y?xyx?y2arctan. xy??2z?2z?2z??6sin?2x?3y?；2??9sin?2x?3y?. ??4sin?2x?3y?；
?x?y?x2?y（2）
?z?z??8x2y?4y3； ?4x3?8xy2； ?y?x?2z?2z?2z22??16xy；2??8x2?12y2. ?12x?8y； 2?x?y?x?y（3）
111?z11?.?2y???.?2xy?x?22xy?x22xy2y； xx. y
111?z11?.?2x???.?2xy?y?22xy?y22xy2????2z1?11y2y?????.???； ??22?x2?2y?x??4xxy??x??????2z1?1112???； ?.?????x?y2?2y?x??4xy??x???????2z1?11?x??2x??. ?.???22?????y22x?y?4yxy??y????（4）z?x2arctanyx?y2arctan. xy?????z?2y?x??xarctan?x?y2?arctan? ??x ?x?x?y??????????????y111???y???2??x2?.??y. ??2xarctan ??22??2???xyx??y??x??1???1??????????????????x???????y??yx2yy3 ?2xarctan ?2?222xx?yx?yyyx2?y2y ?2xarctan?2xarctan?y； ?2xxx?y2?????zyx??2?x2?arctan?y??yarctan? y ???yx?y???????????????????x???11??x12?2 ?x.??2yarctan?y?.??2?22???? ??y?x?yy?????x???1???????1???y???????x?????????x3xxy2 ?2 ?2yarctan?222yx?yx?y?x ?x?y2xx?x?2yarctan. ?2yarctan22yyx?y2???????2z?yy1y??? 2??2xarctan?y?x?2arctan?2x?.?2?? 2???y??x??xx?x???1????x??????y2xy ?2arctan?2. 2xx?y??????2z?y11???? ??2xarctan?y?y?2x?.?1 2?????x?y?x??y??x??1????????x??2x2x2?y2 ?2； ?1?222x?yx?y?2z?x?2yarctan 2????y??x??y ?y??????????x???x1????2? ?0??2arctan?2y?.? 2???yx??y?????1????y????????????x2xy ??2arctan?2. 2yx?y 5.验证下列等式.
（1）设z?xe，证明： xyx?z?z?y?z； ?x?y1?2u?2u?2u222（2）证明函数u?，r?x?y?z满足2?2?2?0；
r?x?y?z（3）证明T?x,t??e任意常数.
【证】
?ab2t?T?2T?a2，其中a为正常数，b为sinbx满足热传导方程?t?xyyyyy?????zyy?z1???????ex?x?ex??2???ex?1??；?x?ex????ex. （1）因?xx??y???x????x??
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
