习题7.7
3.指出下列方程所表示的曲线.
?x2?4y2?9z2?36,?x2?y2?z2?25,（1）? （2）?
?y?1;?x?3;?y2?z2?4x?8?0,?x2?4y2?z2?25,（3）? （4）?
?y?4.?x??3;【解】
（1）表示平面x?3上的圆周曲线y2?z2?16；
x2z（2）表示平面y?1上的椭圆??1；
32329z2y2??1； （3）表示平面x??3上的双曲线1642（4）表示平面y?4上的抛物线z2?4x?6.
2222??x?y?z?R,4.求?:?222??x?y?z?2Rz,?1?在三个坐标面上的投影曲线. ?2?32R 4【解】 （一）（1）、（2）联立消去z得 x2?y2?所以，?在xoy面上的投影曲线为
32?22?x?y?R, ? 4??z?0.（二）（1）、（2）联立消去y得
1R 2所以，?在zox面上的投影曲线为 z?1?z?R,3? ?R. 2x?2?y?0.?（三）（1）、（2）联立消去x得
1 z?R
2所以，?在yoz面上的投影曲线为
1?3?z?R, ?R. 2y?2??x?0.
6.求由球面z?4?x2?y2 ①和锥面z?3x2?y2 ②所围成的立体在xoy面上的投影区域.
【解】联立①、②消去z得 x2?y2?1 故?在xoy面上的投影曲线为
???x2?y2?1, ?
z?0.?所以，球面和锥面所围成的立体在xoy面上的投影区域为D???x,y?|x2?y2?1?.
习题7.8
2.设空间曲线C的向量函数为r?t??t2?1,4t?3,2t2?6t，t?R.求曲线C在与
t0?2相应的点处的单位切向量.
??【解】因r??t???2t,4,4t?6?，故C相应t0?2的点处的切向量为
r??2???4,4,2?.
C相应t0?2的点处的单位切向量为
1r??2?r??2???1221??4,4,2?????,,?. 6?333?3.求曲线?:x?t,y?t2,z?t3在点M0(1,1,1)处的切线方程和法平面方程. 【解】M0对应参数t?1.?在M0点处的切线方向为
s??x??t?,y??t?,z??t??|t?1?1,2t,3t2??|t?1??1,2,3?.
所以，?在M0点处的切线方程为 法平面为
1.?x?1??2.?y?1??3.?z?1??0，即 x?2y?3z?6?0.
4.在曲线?:x?t,y?t2,z?t3上求一点，使在该点处的切线平行于平面?:x?2y
x?1y?1z?1. ??123?z?4.
【解】平面x?2y?z?4的法向量为n??1,2,1?.
在?上任取一点M0?x0,y0,z0?，并设M0对应参数t?t0.?在M0点处的切
线方向为
2?. 1,2t,3t2?|??1,2t0,3t0 s??x??t0?,y??t0?,z??t0????t?t0由题意，欲使M0点处的切线与平面?平行，只须s与n垂直，为此令
2 0?s.n?1?4t0?3t0，即
21?4t0?3t0?0.
1解之得， t0??1 或 t0??.
3?111?所以，所求点为M0??1,?1,?1?或M0??,,?.
?3927?5.求曲线C:x??eucosudu，y?2sint?cost，z?1?e3t在t?0处的切线方程和
0t法平面方程.
【解】参数t?0对应曲线C上的点M0?0,1,2?.
C在M0点处的切线方向为
s??x??t?,y??t?,z??t??|t?0?etcots,2cots?sint,3e3t??|t?0??1,2,3?.
所以，?在M0点处的切线方程为
法平面为
x?0y?1z?2. ??123 1.?x?0??2.?y?1??3.?z?2??0，即 x?2y?3z?8?0.
习题8.1
1.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）w?z1?x?y22；（4）u?9?x2?y2?z2x?y?z?1222.
【解】
（3）要使函数表达式有意义，必须满足 1?x2?y2?0 即 x2?y2?1 故所求函数的定义域为
D???x,y?|x2?y2?1?. （4）要使函数表达式有意义，必须满足
222??9?x?y?z?0, ?2 即 22??x?y?z?1?0.222??x?y?z?9, ?222??x?y?z?1.故所求函数的定义域为
D???x,y,z?|1?x2?y2?z2?9?.
3.求下列各极限. （1）
?111??11?????； （2）??limxsin?ysin??； ?x,y,z???1,2,3??x?x,y???0,0??yzyx????lim（3）
?1?xy??x,y???0,0?lim?x,y???0,0?1tanxyxyx2?y2； （4）lim；
?x,y???0,0?x2?y2??（5）lim1?x2?y2?1x2y； （6）lim. 22?x,y???0,0?x?yx?y111??是三元初等函数，其定义域为 xyz【解】（1）因为函数f?x,y,z?? D???x,y,z?|x?0,y?0,z?0?，且?1,2,3??D，所以三元函数
f?x,y,z??111??在?1,2,3?处连续，从而有 xyz?111?11111??????1?2?3?6. ?x,y,z???1,2,3??xyz??lim（2）
?11?? lim?xsin?ysin??x,y???0,0??yx???limxsin11?limysin?0?0?0. y?x,y???0,0?x11?limysin?0均是利用有界量乘以无穷小量还是无y?x,y???0,0?xxytanxy?x,y???0,0?【其中
?x,y???0,0?limxsin穷小量】. （3）
?1?xy??x,y???0,0?lim1tanxy?????1?xy??x,y???0,0????lim1xy?e1?e.
xyx2?y2x2?y2（4）lim?lim.xy?0.
?x,y???0,0?x2?y2?x,y???0,0?x2?y2x2?y2?1及limxy?0，即利用有界量乘以无穷小量还【上述结论中用到2?x,y???0,0?x?y2是无穷小量】. （5）
?x,y???0,0?????lim1?x2?y2?1x2?y2?lim
22?x,y???0,0?x?y?x?y?1?x?y?1??x2?y2?lim.?x,y???0,0??x?y??x,y???0,0?lim11?x2?y2?12?0?1?0. 2x2?y2?x?y???x?y，lim?x?y??0及夹逼准【上述结论中用到0??x,y???0,0?x?yx?y则】.
x2yx2（6）lim?lim.y?0.
?x,y???0,0?x2?y2?x,y???0,0?x2?y2x2?1及limy?0，即利用有界量乘以无穷小量还是【上述结论中用到22?x,y???0,0?x?y
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
