第九届国际天文奥林匹克竞赛试题和解答
推举低年组：
1、星系间的距离。在室女座星系团中，星系的密度为每立方兆秒差距（Mpc3）30个星系。请估算此星系团中星系间的距离。
解答：星系团中单个星系的平均体积为1/30立方兆秒差距（Mpc3），因此单个星系的平均大小为：（1/30）1/3 Mpc≈0.322 Mpc，这就是星系的平均距离。
2、彗星。在一次日食观测中，观测者们在靠近日面的白羊座发觉了一颗彗星。随后的争辩表明，发觉时该彗星位于轨道的远日点（到太阳的距离为 A=8.85au），它在近日点时离太阳的距离为P=1.63au。请问它最近一次过近日点时，该彗星是否能被地球上的观测者看到？那时它位于哪个星座？答案应通过必要的公式和数值计算加以说明。
解答：该彗星的轨道半长径a=（A+P）/2=5.24，依据开普勒第三定律a3=T2，T=12年。发觉时彗星位于远日点，所以此后该彗星第一次过近日点应该是6年之后，这时地球的位置与发觉该彗星时完全相同，而彗星的黄经则和它刚被发觉时相差180度。因此，这时彗星可以被地球上的观测者看到，它的黄经与白羊座相差180度，应该位于天秤座。
3、掩星。金星在大距时中心掩过一颗恒星。请计算掩星的持续时间。金星和地球的轨道可视为圆轨道。
解答：首先要知道，金星大距时，它相对于恒星背景运动的角速率与太阳在黄道上运动的角速率相等，即：ω金=ω日=2π/T=360度/365天=0.986度/天
大距时，金星与地球的距离为：l=（r地2-r金2）1/2=103.4百万千米，这时从地球上看，金星直径为d≈2r金/l=1.17×10-4=24.1角秒
因此，掩星过程的持续时间为：t=d/ω金=9.8分钟
4、月球。昨天的观测考试中有些时候天空没有云，你应该观察过月亮。假想在同一时间有个人同学在“猫峰”（克里米亚天体物理台的观测站之一）上观测月亮，用法的折射望远镜物镜直径为D=8厘米，焦距F=304.8厘米。在物镜的焦面上有一个照相底片。请依据实际尺寸画出照相底片上所显示的月面图像（需包含主要详情）。你的图中“上”的方向应与照相底片上“上”的方向全都，并应写出得到正确结果所需的全部计算步骤。
解答：10月3日是下弦月，月龄约为19。在照相底片上应该呈现一个倒置的弦月图像，考虑到底片上的像是反像，因此我们画出的月亮图上月海应为白色、月陆应为暗黑色。月亮的视直径约为31角分，依据底片比例尺公式α=206265/F角秒/毫米（F为物镜焦距，以毫米为单位），可知月亮像的大小应为：d=31×60×3048/206265≈27.5毫米。
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5、太空中的猫。正好在47年以前，1957年10月4日，第一颗人造地球卫星“Sputnik I”放射升空。不久，动物开头进入太空。最早是苏联的狗，然后是美国的猴……法国政府也曾方案把猫送入太空，不是简洁的一两只，而是一组共5只猫！你可以从附图上看到法国太空猫小组的照片（5名正式机组成员和一名替补，附图从略）。在其中一项试验中，这些猫被从法国埃菲尔铁塔上射来的一束强光照亮，对试验数据进行了分析。替补猫离埃菲尔铁塔10千米远，试验证明，被这束强光照射时，它的每只眼睛亮度与一颗7等恒星相等（从埃菲尔铁塔上看）。若卫星位于巴黎上空250千米的高度，请近似计算卫星上的机组猫加起来的总视星等是多少，并大致估算从最远多大的距离处机组猫成员可以判定来自替补猫的双眼的反光不是一颗简洁的单星而是双星？设全部机组猫和替补猫彼此完全相同，埃菲尔铁塔的高度h=300米。
解答：从铁塔上射出的强光（F0）到达猫眼时，猫眼接收到的光流量（F1）与猫离铁塔的距离（R）成平方反比：F1/F0～R-2，从猫眼反射回铁塔的光流量F2 也与（R）成平方反比：F2/F1～R-2，因此F2/F0～R-4。替补猫每只眼睛反射回铁塔的光流量为F2替，5只机组猫放射回来的总光流量为 10F2机，依据视星等定义m=-2.5lgF，可知替补猫单眼和机组猫（将五只猫作为一个整体）的视星等之差为：m替-m机=-2.5lg（F2替 /10F2机），其中F2替～R替-4，F2机～R机-4，依据已知条件，将R替=10千米，R机=250千米代入上式，可得m机=18.5等。
记猫眼瞳孔直径为D毫米，两眼之间的距离为r米。则猫眼的辨别率为：δ=140/D角秒，在距离为d米处猫两眼的张角为：β=r/d弧度=180r /（πd）度。设D=4毫米，代入上面的关系式有：δ=140/4=35角秒。假设r=0.05米，当替补猫的两眼张角β=δ=35角秒时，d=180r /（πβ）≈295米，因此在离替补猫295米以内的地方，机组猫能辨别出替补猫的眼睛是两只。（考虑到D和r可能有不同的估算值，答案在200至500 米之间都算正确）。
6、日食。在历史大事的重建中，经常要计算过去的日食发生的时间和地点。然而，假如假定地球过去的自转速率恒等于日前的自转速率，那么依据模型计算出的日食发生地点与过去实际发生的地点并不全都，因为实际上地球自转速率是连续减慢的。请问在那个世纪这样的日食实际上是发生在巴黎（λ=0度，φ=45 度）而不是克里米亚（λ=+35度，φ=45度）？已知由于地球自转减慢，日长每100年增加0.0016秒。
解答：解答本题的关键在于正确理解“由于地球自转减慢，日长每100年增加0.0016秒”这句话。因为地球自转减慢是连续的，不能简洁的认为21 世纪每天的日长都为24小时，而20世纪每天的日长都为24小时-0.0016秒。这句话应理解为地球自转减慢是一个匀减速过程，100年以后的那一天的日长要比今日增加0.0016秒。依据这个思路，很简洁就能求出地球自转减慢的加速度为：a=0.0016秒/（1天×100 年）=0.0016×365.24/（100×86400）=6.76×10-8天/年2。
第一种状况：若依据地球恒速自转模型计算出在距今为t的某个时刻克里米亚发生了日食，但实际状况是由于地球过去自转较快，日食发生时克里米亚已经转出了日食带，而地理位置更偏“西”的巴黎正好落在了日食带。也就是说在这段时间内地球自转共减慢了△t=（34度-0度）×1天/360度=0.094 天。依据匀加速度运动公式△t=at2/2，有：t=（2△t/a）1/2=（0.189天/6.76×10-8天/年2）1/2≈1670年，即日食发生的时间是公元334年（2004年——1670年），为公元4世纪。
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其次种状况：设在距今为t的某个时刻在法国发生了日食，但是依据地球恒速自转模型计算时由于没有考虑自转减速效应，认为地理位置比法国更偏西的克里米亚进入日食带，这种状况下，法国的赤经应记为360度。在这段时间地球自转共减慢△t=（360度-34度）×1天/360度=0.906天，因此有：t=（2△t/a）1/2=（1.812天/6.76×10-8天/年2）1/2≈5180年，即日食发生的时间是公元前3176年，也就是公元前 32世纪。
高年组：
1、星系间的距离。在室女星系团中大约有100个星系，该星系团掩盖了大约6度×6度的天区，距离地球15兆秒差距。求此星系团中星系间的平均距离。
解答：6度约为0.1弧度，依据已知条件可知：室女星系团的线大小为15×0.1=1.5Mpc，因此它的体积为1.53≈3.4Mpc3，其中包含100个星系，所以每个星系的平均体积为0.034Mpc3，平均大小为（0.034）1/3Mpc≈0.32Mpc
2、在一次日食观测中，观测者们在靠近日面的白羊座发觉了两个类彗星体，它们相距a=9角秒。进一步争辩表明，这两个彗星体的运动轨道完全相同。在发觉时它们位于轨道的远日点（与太阳的距离为A=8.85au），近日点离太阳的距离为P=1.63au。请问它最近一次过近日点时，该彗星是否能被地球上的观测者看到？那时它位于哪个星座？答案应通过必要的公式和数值计算加以说明。
3、那时从地球上看它们之间的角距离β为多少？
解答：两个类彗星体的运动轨迹完全相同意味着，在一段时间之后，其中一个类彗星体会完全重复另一个类星体的位置。因此它们之间的距离L正比于它们的速度。设类彗星体在远日点和近日点的运动速度和它们的间距分别为VA、VP和LA、LP，依据开普勒其次定律，在远日点和近日点有：VA·△t×A=VP·△t×P，△t= LA/VA=LP/VP，为一小段时间间隔。因此有：LA×A=LP×P。在发觉时两个类彗星体靠今日面，因此从地球上看，他们之间的角距离为α=LA /（A+1），β=LP/（P-1）
代入已知数据可得：β=LP/（P-1）=LA×（A/P）/（P-1）=α×（A/P）×（A+1）/（P-1）≈85α≈12.7′
第九届国际天文奥林匹克竞赛（观测部分）:
1.1本次奥林匹克竞赛在北纬45度的地方进行，请你用手指出北极四周天区的轮廓。
1.2用手指出北极四周的星座，并说出它们的拉丁名称。
2、确定下面几组恒星之间的角距，并把答案写在星图上相应的两颗恒星之间。 2.1、α Cyg和β Cyg4 2.2、β Dra和γ Dra
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第九届国际天文奥林匹克竞赛试题和解答
