期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格

期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格

摘要 期权是功能最多、最激动人心的融衍生工具之一。期权定价问题一直是金融数学当中最复杂的问题之一,简要介绍几种基本的期权定价理论,并利用matlab金融工具箱计算出香港恒生指数期权的价格并与实际价格进行比较,指出可能导致偏差的一些原因。

关键词 期权定价;MATLAB;B-S模型

1 期权概述

期权是一种独特的衍生金融产品,实质上是将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利具有选择权,而义务方必须履行其义务。它使买方能够避免坏的结果,同时,又能从好的结果中获益。

2 期权的定价模型

2.1 二项式期权定价模型

设:S0=股票现行价格,u=股价上行乘数,d=股价下行乘数,r=无风险利率,C0=期权现行价格,Cu=股价上行时期权的到期日价值,Cd=股价下行时期权的到期日价值,X=期权的执行价格,H=套期保值比率,则二项式定价模型为:

u=1+上升百分比=

d=1+下降百分比=

其中:e是自然对数;σ为标的资产连续复利收益率的标准差;t为以年表示的时段长度。

2.2 Black—Scholes期权定价模型

1)假设条件

B-S微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的:①股价遵循预期收益率μ和标准差σ为常数的马尔科夫随机过程;②允许使用全部所得卖空衍生证券;③没有交易费用或税金,且所有证券高度可分;④在衍生证券的有效期内没有支付红利;⑤不存在无风险的套利机会;⑥证券交易是连续的,股票价格连续平滑变动;⑦无风险利率r为常数,能够用同一利率借入或贷出资金;⑧只能在交割日执行期权。

2)Black—Scholes期权定价公式

C=SN(d1)-Xe-rTN(d2)

P=C-X+Xe-rT=Xe-rT · N(-d2)-S · N(-d1) ,

式中:C表示买入期权的价格;S表示标的资产的现行市场价格;r表示无风险利率(以连续复利率计算);σ表示标的资产的价格波动率;X表示看涨期权的执行价格;T表示距离期权到期日的时间(以年表示);t表示现在的时间;N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数。

2.3 支付股利的Black-Scholes期权定价模型

从实证研究上来看,股利对股价是有影响的。当支付股利时,股票价格将下降,特别是当高比例支付股利时,股票价格变动将比较明显。而作为指数期权来讲,支付股利将变得不可避免。为反映这种影响,我们将Black-Scholes公式中使用的股票价格改为原股票价格减去期权有效期内预计支付的股利现值,波动率改为股票价格减去股利现值的净值的波动率,计算期权价格的布莱克-斯科尔斯公式分别为:

C=(S0-DP)N(d1)-Sxe-rTN(d2)

P=Sxe-rTN(-d2)-(S0-DP)-N(-d1)

其中DP为期权持有期内所付红利的现值。另外,在计算股票价格的波动率(σ)时也不应该将这部分无风险收益考虑在内。

3 利用Matlab计算恒生指数期权的价格

3.1 股票价格波动率的计算

1)股票价格波动率σ的计算方法是:以一定时间内的股票价格为基础,设(n+1)为观察次数,Si为第i个时间间隔末的股票价格。令Ui=1n(Si/Si-1),

因为Si=Si-1eUi,所以Ui是第i个时间间隔后的连续复利收益,Ui的标准差即为该段时间内股票价格的日波动率σ1,则估计值为

公式中是Ui的均值。

2)在计算出股票价格的日波动率之后,可以利用下面的公式计算股票价格的年波动率。

股票价格年波动率(σ)=股票价格日波动率×根号内每年的交易日数。

我们采用恒生指数2010/02/26-2010/05/25的收盘指数来计算它的波动率。经计算并适当调整可得:

3.2 香港恒生指数期权价格的计算

我们采用香港银行隔夜拆借利率作为无风险利率。

对于分红率,由于市场上分红都是固定在大致相同的时间,因此我们在计算不同到期日期权价格是将使用不同的分红率,即对于1个月内到期的,我们将采用0即不分红作为分红率;对于3个月内到期的,我们将采用3%作为分红率。

下面我们计算2010年6月份到期的期权价格:

期权价格的计算结果与6月8日恒生指数期权报价对比

4 结论

本文初步探讨了期权的定价问题,并利用Matlab建立了期权的定价模型。利用香港恒生指数,计算出恒生指数期权的价值,并与市场实际报价进行了比对,得出了如下结论:到期时间较近的期权合约的预测价格较接近于实际市场价格,到期时间较长的期权合约的预测价格与实际价格偏差较大。总体来说,B-S模型并不合适于直接应用于实际的市场报价。我们认为产生偏差的可能原因如下:

1)B-S期权定价模型中的某些输入变量不可避免的需要进行人工主观估算,以此为基础计算得到期权价格,其相关性和可靠性有所欠缺。

2)期权到期日越晚的市场波动可能越大,因此投资者分歧更加明显,定价也相对困难;而期权到期日越早的市场波动可能相对较小,因此投资者分歧较小,定价也相对容易。

3)市场的股票预期分红率水平可能与当前的水平有所差别。

4)交易价格还受到市场供求、投资者心理预期等因素的影响。

参考文献

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