1111???
d?0.5d?2d?1?j2d?1?j2解得： d1??0.41。
③与虚轴交点：
D(s)?(s?2)(s?0.5)?K?(s2?2s?5)?0
把s=j?代入上方程，令
?2???Re(D(j?))??(1?K)??5K?1?0 ????Im(D(j?))?(1.5?2K)??0解得： ????0??K?0.2 ?????1.25??K?0.75
图解4-10 根轨迹图 ?根轨迹如图解4-10所示。由图解4-10可知系统稳定的K值范围为0.2?K?0.75；又
?K?5K?， 所以系统稳定的K值范围为1?K?3.75。
6 试绘出下列多项式方程的根轨迹。
⑴s?2s?3s?Ks?2K?0；
解 ⑴ s?2s?3s?Ks?2K?0 作等效开环传递函数 G(s)?根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ??2,0? ② 渐近线：
*3232K(s?2)。
s3?2s2?3s
??1?j2?(?1?j2)?(?2)?a??0??2 ? ???(2k?1)????a?22?③ 起始角：
?p?180??54.74??90??125.26??19.48?
1 6
根轨迹如图解4-11(a)所示。
7 控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为
图解4-11(a) 根轨迹图 K?(s?1) G(s)?3(s?2)此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：???,?2?,??1,??? ② 分离点： 解得 d??0.5
③ 起始角：根据相角条件，
31 ?d?2d?1?????ii?1j?1mnj?2k?
得 ?p1?60?，?p2??60?，?p3?180?。 根轨迹如图解4-12所示。
8 设单位反馈系统的开环传递函数为
图解4-12 根轨迹图 K?(1?s)G(s)?
s(s?2)试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： ??2,0?, [1,??)； ② 分离点：
??111?? dd?2d?1解得：d1??0.732 , d2?2.732
将s?d1??0.732, s?d2?2.732代入幅值条件得
?K?d1?0.54, Kd2?7.46
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
7
D(s)?s(s?2)?K?(1?s)?0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2???Re(D(j?))????K?0 ????Im(D(j?))?(2?K)??0???0解得： ??
?K?0????1.41 ???K?2?图解4-13 根轨迹图 根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.54，7.46，产生纯虚根的K为2。
9 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出b?2时系统的闭环传递函数。
（1）G(s)??20
(s?4)(s?b)30(s?b)
s(s?10)（2）G(s)?解 （1）做等效开环传递函数
G(s)??b(s?4)
s2?4s?20① 实轴上的根轨迹：(??,?4] ② 分离点：
111??
d?2?j4d?2?j4d?4图解4-14(a) 根轨迹图 解得：d1??0.472(舍去)，d2?8.472
如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当b?2时，两个闭环特征根为?1,2??3?j4.24。 此时闭环传递函数为
?(s)?20
(s?3?j4.24)(s?3?j4.24) 8
（2）做等效开环传递函数G?(s)=
30b
s(s?40)
① 实轴上的根轨迹：??40,?0? ② 分离点： 解得：d??20
根轨迹如图解4-14(b)所示，
11??0 dd?40图解4-14(b) 根轨迹图 当b?2时，两个闭环特征根为?1??38.44，?2??1.56 此时闭环传递函数为
?(s)?30(s?2)
(s?1.56)(s?38.44)11 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。
解：G(s)?100 32Ts?s?20s作等效开环传递函数
G(s)?*1T(s2?20s?100)s3
图 4-24 系统结构图 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(??,?10],??10,0? ② 分离点：
32 ?dd?10解得 d??30。 根据幅值条件，对应的T?0.015。
③ 虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?Ts3?s2?20s?100?0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2??Re(D(j?))?100???0 ?3??Im(D(j?))?20??T??0 9
解得： ?????10
?T?0.2④ 起始角：?p1?60?
图解4-15 根轨迹图 参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。
从根轨迹图可以看出，当0?T?0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；
0.015?T?0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T?0.2时，有两支根轨迹在s右半平面，
此时系统不稳定。
4-16 实系数特征方程
A(s)?s?5s?(6?a)s?a?0 要使其根全为实数，试确定参数a的范围。
解 作等效开环传递函数 G(s)??32a(s?1)a(s?1)? 32s?5s?6ss(s?2)(s?3)当a?0时，需绘制180根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： ??3,?2?，??1,0?
?2?3?1?????2??a3?1② 渐近线： ?
(2k?1)???????a?3?12?③ 分离点：
1111 ???dd?2d?3d?1解得 d??2.47
分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： K?d?dd?2d?3d?1?0.4147
根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由
根轨迹图解4-16(a)可以看出，当0?a?0.4147时，多项式的根全为实数。
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(完整word版)自控 根轨迹法习题及答案
