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第五章 微分方程建模案例
微分方程作为数学科学的中心学科， 已经有三百多年的发展历史， 其解法和 理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使 得微分方程模型具有极大的普遍性、 有效性和非常丰富的数学涵。 微分方程建模 包括常微分方程建模、 偏微分方程建模、 差分方程建模及其各种类型的方程组建 模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段， 对于现实 世界的变化， 人们关注的往往是其变化速度、 加速度以及所处位置随时间的发展 规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示， 微分方程建模适用的领域比较 广，涉及到生活中的诸多行业， 其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程 及其方程组建模， 离散模型适用于差分方程及其方程组建模。 本章主要介绍几个 简单的用微分方程建立的模型， 让读者一窥方程的应用。 下面简要介绍利用方程 知识建立数学模型的几种方法：
1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型
这就需要我们仔细分析题目， 明确题意， 找出其中的等量关系， 建立数学模 型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行 光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线， 我们就是利用了题目中隐含的 条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
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我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运
动定律：F ma，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，
设物体质量为m，空气阻 力
系数为k，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t时物体的下落速度为v，初始条件：v(o) 分方程模型:
dv 2m 一 mg kv dt
0.由牛顿第二运动定律建立其微
求解模型可得:
、mg(exp[2t
1) 1)
? k(exp[2t
由上式可知，当t
时，物体具有极限速度:
lim v
t
mg :k，
为介质密度，s为物
其中，阻力系数k
s， 为与物体形状有关的常数,
体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来
3?利用导数的定义建立微分方程模型
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导数是微积分中的一个重要概念，其定义为
f（x x） f（x） 「 y
f （x） lim
x 0 x
lim -，
x 0 x
商式一表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化
y
x
率，因而其极限值就是函数的变化率。 函数在某点的导数，就是函数在该点的变
变化就必然有变化率，也就是变化率
化率。由于一切事物都在不停地发展变化，
是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。这就很容易将导数与实际联系起来， 建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。
例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射 性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化 率）与其存余量成正比。我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t的函数, 由裂变规律，我们可以建立微分方程模型
dR
dt
kR
期中k是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。求解该模型，我们解得： R Ce kt，其中c是由初始条件确定的常数。从这个关系式出发，我们就可以测 定某文物的绝对年龄。（参考碳定年代法）
另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即 函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。
4 ?利用微元法建立微分方程模型
一般的，如果某一实际问题中所求的变量 p符合下列条件：p是与一个变量 t的变化区间［a,b］有关的量；p对于区间［a,b］具有可加性；部分量 p,的近似值 可表示为 f ( i)
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