1A．?
3n?1n?2?1B．?
nlnnn?2?1C．? 2n(lnn)n?2?D．?n?2?1nnn
【答案】C 【解析】???2??11发散，dx收敛，由积分判别法知B发散，C收敛；其余几dx2?2x(lnx)xlnx个级数均与级数具有相同的发散性．故选C．
23．幂级数?
1(x?1)n的收敛区间为（ ） n?1n?03?A．(?1,1) B．(?3,3) C．(?2,4) D．(?4,2)
【答案】D
1n1??t?【解析】令x?1?t，级数化为?n?1t????，级数收敛区间为(?3,3)，即x?1?(?3,3)，
333n?0n?0???n故x?(?4,2)，选D．
24．微分方程y???3y??2y?e?xcosx利用待定系数求特解时，设y*?（ ）
A．Cexcosx
B．e?x(C1cosx?C2sinx) D．x2e?x(C1cosx?C2sinx)
C．xe?x(C1cosx?C2sinx)
【答案】B
【解析】特征方程为r2?3r?2?0，特征根为r1??1，r2??2，而?1?i不是特征方程的特征根，特解应设为y*?e?x(C1cosx?C2sinx)．
25．函数y?f(x)满足微分方程y???y??e2x，且f?(x0)?0，则f(x)在x0处（ ）
A．有极小值
B．有极大值
C．无极值
D．有最大值
【答案】A
【解析】f??(x0)?f?(x0)?e2x0?f??(x0)?e2x0?0，故选A．
二、填空题 （每小题 2分，共 30分）
26．设f(x)?2x?5，则f?f(x)?1??________． 【答案】4x?13
【解析】f?f(x)?1??2?f(x)?1??5?2f(x)?3?2(2x?5)?3?4x?13．
2n27．lim?________．
n??n!【答案】0
2n【解析】构造级数?，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件可得
n?0n!?2nlim?0． n??n!
?3e4x,x?0?28．设函数f(x)??在x?0处连续，则a?________． a2x?,x?0??2【答案】6
【解析】limf(x)?f(x)?3，lim??x?0x?0aa，由题意可知?3，故a?6． 22
29．曲线y?x2?x?2在点M处的切线平行于直线y?5x?1，则点M的坐标为 ________． 【答案】(2,4)
【解析】y??2x?1?5，从而x?2，y?4，故点M坐标为(2,4)．
30．已知f(x)?e2x?1，则f(2007)(0)?________． 【答案】22007e?1
【解析】f(n)(x)?2ne2x?1，故f(2007)(0)?22007e?1．
?x?3t?1dy31．曲线?，则|t?1?________． 2dx?y?2t?t?1【答案】1
【解析】
dy4t?1??1． ||t?1t?1dx332．若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?________，b?________． 【答案】?2，4
【解析】f(1)?a?b?2，f?(1)?2a?b?0，联立解得a??2，b?4． 33.?f?(x)dx? ________． f(x)【答案】lnf(x)?C 【解析】?
34．?1?x2dx?________．
01f?(x)df(x)dx???lnf(x)?C． f(x)f(x)【答案】
? 411?【解析】?1?x2dx???12?．
044
35．向量3i?4j?k的模a?________． 【答案】26 【解析】a?32?42?(?1)2?26．
36．平面?1:x?2y?5z?7?0与平面?2:4x?3y?mz?13?0垂直，则m?________． 【答案】2
【解析】n1?(1,2,?5)，n2?(4,3,m)，n1?n2?4?6?5m?0?m?2．
37．函数f(x?y,xy)?x2?y2，则f(x,y)?________． 【答案】x2?2y
【解析】f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y．
38．二次积分I??【答案】?22x220dy?1?y2yf(x,y)dx交换积分次序后为________．
11?x20dx?f(x,y)dy??2dx?020f(x,y)dy
??2??【解析】D??(x,y)0?y?,y?x?1?y2?
2???????22????2???(x,y)0?x?,0?y?x???(x,y)?x?1,0?y?1?x?， 22????????故积分次序交换后为?
220dx?f(x,y)dy??2dx?02x11?x20f(x,y)dy．
??11?139．若级数?收敛，则级数????的和为________．
un?1?n?1?unn?1un?【答案】
1 u1?11??11?【解析】Sn??????????u1u2??u2u3?而lim
1un?1n???11?11?????， ?uuuun?1?1n?1?n?0，故S?limSn?n??1． u140．微分方程y???2y??y?0的通解为________． 【答案】y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）
【解析】特征方程为r2?2r?1?0，特征根为r1?r2?1，故通解为y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）．
四、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．计算limxsinx． ?x?0【答案】1
【解析】limx?x?0sinx?lime?x?0sinxlnx?ex?0?limsinxlnx?ex?0?limxlnxx?0?lim?elnx1x?e?limxx?0??e0?1．
47．已知y?x231?xdy，求． 1?xdx?211????x3(x?1)3(x?1)? ??【答案】x231?x1?x【解析】两边取自然对数得lny?2lnx?1?ln1?x?ln1?x?， 3两边对x求导得
y?21??11??????， yx3?1?x1?x??211????x3(x?1)3(x?1)?． ??故
dy1?x?x23dx1?x
2x48．求 ???e?ln(1?x)??dx．
1【答案】e2x?(1?x)ln(1?x)?x?C
22x【解析】??e??ln(1?x)??dx?12x12xxed(2x)?ln(1?x)dx?e?xln(1?x)???1?xdx 2?211?12x??e2x?xln(1?x)???1??dx?e?(1?x)ln(1?x)?x?C． 22?1?x? 49．计算??02?2cos2xdx．
【答案】4 【解析】??02?2cos2xdx???04cosxdx?2?cosxdx?2?2cosxdx?2??cosxdx
0022?????2sinx20?2sinx??2?4．
50．设z?f(exsiny,3x2y)，且f(u,v)是可微函数，求dz． 【答案】(exsinyf1??6xyf2?)dx?(excosyf1??3x2f2?)dy
2007年河南专升本高等数学真题+真题解析
