2020年高考理科数学圆锥曲线中面积的最值问题分析解题技巧归纳
专题02 圆锥曲线中面积的最值问题分析
溯本求源
来源：北师大版高中数学必修五第48页，给出如下三角形的面积公式：
评析：为以后使用方便，在△ABC中，设AB?(x，，则S△ABC?x1y2?x2y11,y1)AC?(x2,y2)21 ．
流金岁月
22变式：(2015上海高考节选)已知椭圆x?2y?1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和
C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．设A?x1,y1?，C?x2,y2?，用A、C的坐标表示
点C到直线l1的距离，并证明S?2x1y1?x2y1． 【答案】见解析．
【解析】直线l1:y1x?x1y?0，点C到l1的距离d?y1x2?x1y2x12?y12．
AB?2OA?2x?y，所以S?2S△??C?2?21211AB?d?2x1y2?x2y1． 2审思明辨
x2y2变式：已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，直线l过点F与
ab椭圆C交于A，B两点．求证：
22ab2b1?e（1）当e?(，当且仅当直线斜率k??时，,1)时，0?S△OAB??22222c?b2e?1(S△OAB)max?ab； 2cb2cb22（2）当e?(0,，当且仅当直线斜率不存在时，(S△OAB)max?． ]时，0?S△OAB?aa2【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB直线l:x?my?c．
????022??xy22bmc??1??22222242y?y??由?a 得(bm?a)y?2bcmy?b?0，所以?1b2222，
bm?a??x?my?c???b4?y1?y2?22bm?a2?故S△OAB111?m2?122?c?y1?y2?c?(y1?y2)?4y1?y2?c?22?acb22． 2222bm?abm?a22S△OABm2?1m2?12，令t?m2?1，则t?1． ?acb22?acb2222bm?ab(m?1)?cS△OAB?acb2t?acb2222bt?c1c2， bt?t2c2c2b2t2?c22对于函数y?bt?，由y??b?2?． 2ttt2ccc2??)单调递增，又t?1． 得函数y?bt?于(0,)单调递减，于(，bbt2cc222当?1时，即e?[,1)，y?bt??2bc，得0?S△OABbt2c?2t?m?1??ab?b? ，?12?m??k?abb21?e2(S)?当且仅当直线斜率k??时，． ?△OABmax2222c?b2e?1cc2cb222222（2）当?1时，即e?(0,． )，y?bt??b?c?a，得0?S△OAB?bta2当且仅当t?m?1?1，m?0，即直线斜率不存在时，(S△OAB)max2cb2． ?a【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，首先换元法，简化代数结构，然后根据函数的特征选用导数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．
经典赏析
B(2,0)，【例1（】2019全国II理21）已知点A(?2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析，（ii）证明见解析．
12．记
yy1x2y2???，化简得??1(|x|?2)， 【解析】（1）由题设得
x?2x?2242所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．
?y?kx22?22x??u?由?x得，记，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)． y221?2k1?2k?1???42于是直线QG的斜率为
kk，方程为y?(x?u)． 22k?y?(x?u),??222222由?2得(2?k)x?2ukx?ku?8?0．① 2?x?y?1??4223u(3k?2)uk设G(xG,yG)，则?u和xG是方程①的解，故xG?，由此得yG?． 222?k2?kuk3?uk212?k??从而直线PG的斜率为．
u(3k2?2)k?u2?k2所以PQ?PG，即△PQG是直角三角形．
2ukk2?1（ii）由（i）得|PQ|?2u1?k，|PG|?， 22?k218(?k)18k(1?k)kS?|PQ‖PG|??PQG所以△的面积． 2212(1?2k)(2?k)1?2(?k)2k2设t=k+
1，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号． k8t16[2+∞t=2k=1S在，）单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为． 21?2t916． 9因为S?因此，△PQG面积的最大值为
【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，多次换元，不断简化代数结构，然后由均值不等式法求最值注意“一正二定三相等”．
【例2】(2019北京人大附中高三月考)如图，抛物线C：x?2py?p?0?的焦点为F，以
2A?x1,y1??x1?0?为直角顶点的等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线C上．
（1）过Q?0,?3?作抛物线C的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线C的方程； （2）求△ABC面积的最小值．
22【答案】（1）x?4y；（2）4p．
【解析】（1）过点Q?0,?3?的抛物线C的切线l：y?kx?3，
2联立抛物线C：x?2py?p?0?，得x?2pkx?6p?0，
2??4p2k2?4?6p?0，即pk2?6．
p|?3|p∵F(0,)，F到切线l的距离为d?2， ?22k2?12化简得?p?6??16k?1，∴?p?6??16(2??216?p?6?6?1)?， pp2∵p?0，∴p?6?0，得p?6p?16??p?8??p?2??0， 2∴p?2，∴抛物线方程为x?4y．
（2）已知直线AB不会与坐标轴平行，设直线AB：y?y1?t?x?x1??t?0?，
2联立抛物线方程得x?2ptx?2p?tx1?y1??0，则x1?xB?2pt，xB?2pt?x1，
同理可得xC??2p1?x1；∵AB?AC，即1?t2xB?x1?1?2xC?x1， tt1p(t2?)∴t?xB?x1??x1?xC，即t， x1?t?1∴AB?1?t2xB?x1?1?t2?2pt?2x1??2p1?t2?t2?1?t?t?1?．
t2?1∵， ?2（当且仅当t?1时，等号成立）
tt2?1t2?1t2?12（当且仅当t?1时等号成立）， ?2?2?2t?1t?2t?1t?1?t?122故AB?22p，△ABC面积的最小值为4p．
【名师点评】本题考查抛物线的切线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理的应用，考查函数与
2020年高考理科数学圆锥曲线中面积的最值问题分析解题技巧归纳(21页)
