.. . .. . .
2.某工厂生产某种产品 吨，所需要的成本 C(x)?5x?200 （万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为 R(x)?10x?0.01x2 （万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大， 最大利润是多少？
解：L(x)?R(x)?C(x)=?0.01x2?5x?200，L'(x)??0.02x?5
令L'(x)?0 得 x?250
L\(x)??0.02?0 ?L\(250)?0
?该产品生产250吨时所获利润最大，最大利润是 L(250)?425（万元）
3.已知某产品的需求函数为P?10?Q，成本函数为 C?20?2Q ，求产量5为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
Q2?20?2Q 解：L(Q)?R(Q)?C(Q)?P?Q?C(Q)?10Q?52L'(Q)??Q?8，令 L'(Q)?0 得 Q?20
52又 L\(Q)???0 ，所以符合最大利润原则。
54某商店以单价100元购进一批服装，假设该服装的需求函数为Q?400?p（p为销售价格）。（12分）
(1) 求收入函数R(Q)，利润函数L(Q)； (2) 求边际收入函数及边际利润函数；
(3) 销售价格定为多少时，才能获得最大利润，并求出最大利润。 解：(1) p?400?Q，R(Q)?Qp?Q(400?Q)，………………2分 C(Q)?100Q，
L(Q)?R(Q)?C(Q)?Q(400?Q)?100Q?300Q?Q2…………2分
(2) 边际收入函数为R'(Q)?400?2Q ………………………1分
S. . . . . ..
.. . .. . .
边际利润函数为L'(Q)?300?2Q ………………………1分 (3) 令L'(Q)?300?2Q?0，得Q?150件。…………………1分
因L(150)分
因为是唯一的极值点，所以就是最大值点，………………………1分 即p?400?Q?400?150?250元时，可获得最大利润。……………1''??2?0，所以当Q?150时，函数取得极大值， ……1
分
最大利润为L(150)?300Q?Q2?22500元。…………………2分
第五章
不定积分
填空题
1. 设 ex?sinx 是 f(x) 的一个原函数，则 f?(x) =
ex?sinx；2.?1xlnxdx? lnlnx?C
3. 若
?f(x)dx?x2?C ，则
?xf(1?x2)dx?x2?x42?c；
选择题
1. 设 F?(x)?G?(x)，则 （ B ）
（A） F(x)?G(x) 为常数 （B） F(x)?G(x)为常数 （C） F(x)?G(x)?0 （D）
dddx?F(x)dx?dx?G(x)dx 2. 已知函数 f(x) 的导数是 sinx ，则 f(x) 的所有原函数是（ B （A）cosx （B）?cosx?C （C）sinx （D）sinx?C3.若
?f(x)dx?x2e2x?C ，则 f(x)? （ D ）
（A）2xe2x （B）2x2e2x （C）xe2x （D）2xe2x(1?x) 三计算
1.求不定积分
?xe3xdx
S. . . . . ..
） .. . .. . .
11111111原式=?xd(e3x)?xe3x??e3xdx?xe3x???e3xd(3x)=xe3x?e3x?C
33333339x?12. 2. ?2dx
x?1x1111解：原式??2dx??2dx??2d(x2?1)??2dx
x?1x?12x?1x?1?lnx2?1?arctanx?C
3.
求
?11?exdx
解：令t?1?ex则x?ln(t2?1)
111211dt??(原式=??2?2tdt??22dt???)dt
tt?1t?1(t?1)(t?1)t?1t?1t?1?C?ln ?lnt?1?lnt?1?C?lnt?1ex?1?1e?1?1x?C
4. 求
?xlnxdx
111111解：原式??lnxd(x2)?x2lnx??x2?dx?x2lnx?x2?C
222x24定积分
填空题
1 1.
?1x?x3sin2xdx =
0
2.(tsint3dt)??
?0xsinx3
df(x)dx = 3.
dx?ab0
bb4设 f(x) 在 [a,b]上连续，则
???f(x)dx??f(t)dt =
aa0
5
?e1dx? 2x(lnx)1
6若?(x)??1xecost?tdt，则?'(x)? ?ecosx?x
S. . . . . ..
.. . .. . .
7若?x3?10f(t)dt?x，则f(7)?
112。 解 f(x3?1)3x2?1,?当x?2时，（f7）＝112 8设f?x?是连续函数，且f?x??x?2?10f(t)dt,则f?x?? x -1 。
解 设A??110f(t)dt,A??0xdx?2A?A?1?2A?A??122
?f(x)?x?1
选择题
1. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 （ A ）
51（A） ?x3dx x01?x2 （B） ??11?x2dx
4e （C）
?x3dx （D）
?1lnxdx 0(x2?5)21xex2. 设 f(x) 为连续函数，则
?f(t)dt为 （ C ）
a（A）f(t) 的一个原函数 （B）f(t) 的所有原函数 （C）f(x) 的一个原函数 （D）f(x) 的所有原函数
x3.
?f(t)dt?12f(x)?102，且 f(0)?1，则 f(x)?（ C ） x（A） e2 （B）
1ex （C） e2x （D） 1e2x22 14.
??11x2dx?（ D ） （A） -2 （B） 2 （C） 0 （D） 发散
计算
S. . . . . ..
.. . .. . .
x21. 1. 求定积分 ?dx 21?x011?x21解：?＝ (1?)dx?(x?arctanx)?1?dx022?01?x41?x0112. 求定积分 解：令t?91dx ?x?x19x 则 x?t2 当x?1时，t?1,当x?9时,t?3
32tdt3113 ??2?dt?2ln(t?1)1?2ln2 dx＝?21t?t1t?1x1x?53.
1?lnxdx
e5151解：?lnxdx??1(?lnx)dx??1eelnxdx
??(xlnx?x)??11e25?(xlnx?x)1?5ln5??3
e4.
?21dx 2x?1?? 解： ?lim?2bb111limdx ?limdx?dxb????2(x?1)(x?1)b????2x2?1x2?11b111x?1b1b?111(?)dx?limln()?lim[ln()?ln]?ln3 2b???2?2b???b???x?1x?12x?12b?1325求函数f(x)??x20(2?t)e?tdt在(??,??)的最大和最小值.
2解 因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+?）的最值. 令f'(x)?2x2(2?x2)e?x?0，则得驻点为x?2.
且当0?x?2时，f'(x)?0, 当x?2时, f'(x)?0，
故x?2 为f(x)在[0，+?]的极大值点，也是最大值点，且
maxf(x)?f(2)??(2?t)e?tdt??(2?t)e?t0??220－?20e?tdt?1?e?2
??0f(x)??(2?t)e?tdt??(2?t)e?t而 f(??)?xlim0???f(0)?0
??0??e?tdt?1
所以 minf(x)?f(0)?0.
S. . . . . ..
经济应用数学习题及答案
