（7）limn(na?1)；
n?? (8) limln(a?x)?ln(a?x)?2lna 2x?0x
3. 已知 limx?01?f(x)sin2x?1?2， 求 limf(x) 3xx?0e?1
4比较下列各组无穷小：
（1） 当x?1时，
（2） 当x?0时，(1?cosx)与sinx；
（3）当x?1时，无穷小1?x是1?3x的几阶无穷小？
16
21?x与1?x； 1?x2第一章函数 极限 连续
§1函数
1． 解：（1） 要使sin4?x2有意义，必须4?x2?0,即使x?2.所以定义域为[-2，2]. （2）当x?3且x?1时，21有意义;而要使x?2有意义，必须x??2,故函数
x?4x?3的定义域为：[?2,1)、(1,3)、(3,??). （3）要使arccosln定义域为[xx1x10有意义，则使?1?ln?1，即??e.??x?10e,即 1010e10e10,10e]. e（4）要使tg(x?1)有意义，则必有x?1??2?k?,k?0,?1,?2,?.;即函数定义域为
????xx?R且x?k???1,k?0,?1,?2,??.
2??（5）当x?3时3?x有意义；又当x?0时arctg1故函数的定义域为： 有意义，x(??，0)、(0,3].
（6）当2k??x?(2k?1)?(k?0,?1,?2?)时sinx有意义；有要使16?x2有意义， 必须有?4?x?4.所以函数的定义域为：[?4,??]、[0,?]. 2． f(3)?2,f(2)?1,f(0)?2,f()?2,f(?)?23． 解：f[g(x)]?1212?12.
?x2?4x?3,因此要使?x2?4x?3有意义；必须1?x?3，
即f?g(x)?的定义域为[1，3]。
?1,??4．解f[g(x)]??0,????1,e?1,x?0,?1,?ex?1,??0,x?0, g[f(x)]?ef(x)?ex?1,??1,x?0;x??e,????1,?1?,??ex?1,x?1,。 x?1, 17
5．当0?sinx?1时f(sinx)有意义，故其定义域为[2k?,(2k?1)?](k?0,?1,?2?).。 6．f(x?1)???2x?1,x?1,2?x?2x?5,x?1;?2x?3,x??1, f(x?1)??2?x?2x?5,x??1;?2x2?10,x??1,?2故 f(x?1)?f(x?1)??x?8,?1?x?1,。
?4x?2,x?1.?7解：设f(x)?ax?bx?c,由f(x?1)?f(x)?8x?3?a(x?1)?b(x?1)?c?(ax
222?bx?c)?2ax?a?b,得2a?8,a?b?3,即a?4，b??1，?f(x)?4x2?x?c.
8.Qf??f??x????f???f?x?????f??f?x????f??f?x???为奇函数 Qg??f??x????g???f?x????g??f?x??? ?g??f?x???为偶函数
1?x21?x229．证：当x?1时，x?x,因此?1;当x?1时，?1?x?2;所以对任441?x1?x24意x?(??,??),f(x)?2,即f(x)有界。
10．解：（1）由y?ln(x?2)?1得ln(x?2)?y?1,即x?2?ey?1,x?ey?1?2.
?y?ln(x?2)?1的反函数为y?ex?1?2.
2xyyx得2x?,即x?log2,反函数为y?log2. （2）由y?x1?y1?y1?x2?1（3）当x?0时y?1;x?0时，y?0.反函数为：y??333?x?1,x?1,?x,x?0.
11．解：（1）y?u,u?sin(1?2x);y?u,u?sinv,v?1?2x. （2）y?10,u?(2x?1);y?10,u?v,v?2x?1;；
2xy?arctgu,u??tg(a?e)???;2u2u2（3）
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x2y?arctgu,u?v,v?tg(a?e);y?arctgu,u?v,22v?tg(a2?w),w?ex.
12．设证圆锥的高为h,底半径为R，体积为V，由立体几何学知:V?又
利
用
两
212?Rh. 3可
得
：
直角三角形相似
r?R
r2h2r2h?r2h2,?R??,V?,h?(2r,??).
22h(h?2r)h?2r3(h?2r)R?hh?r§2 数列极限定义及性质
(?1)nn3,a?; （2）1． 解：（1）（错）例如xn?1?（对） （3）（对）.
2n?12２．（１）证：?2n?11551????
4n?322(4n?3)8nn12n?1112n?11?任给?〉0，取N?[],当n?N时，有????.由定义：lim?.
n??4n?3?4n?32n2（２）证：
n?1?n?1n1n?1?n?1n,?任给??0,取N?[1?2],当n?N时，
n?1?n???.?lim(n?1?n)?0.
n??３．证：?limxn?a,?任给??0,存在N?0,当n?N时，有xn?a??，又xn?a?
n??xn?a??(n?N时)，?limxn?a.
n??４．证：?limxn存在，?存在M?0,有xn?M(n?1,2,?).又?nsinn??xnxnM??. 2nnn?任给??0,取N?[M?],当n?N时，有asinxnxnMlimnsin?0. ?0???,?n??n2nn2n??５．证：??xn?有界，?存在M?0,使得xn?M(n?1,2,?).又?limyn?0，
19
?任给??0,
存在N?0,当n?N时有yn?
?M,而xnyn?xnyn?M??M??.?limxnyn?0.
n??数列极限运算法则及存在准则
１．解：（１）（对）
111,yn?sinn,lim?0,limsinn不存在，但limsinn?0存在.
n??nn??n??nn1111（３）（错）例如：un?2,vn?,un?vn(n?1,2,?),但lim2?lim?0.
n??n?1n??nnn?1（２）（错）例如：xn?２．证：?limunvv11?v??a?0,?limn?lim?,??n?有界，而vn?n?un由数列极
n??vn??un??ua?un?unnnnvnn??限的定义及性质和上节习题5可知limvn?0。
21?234n3?2n?1nn?lim?2. ３．解：（１）limn??2n3?3n2?1n??312??3nn23n[(?)n?1]nn(?2)?313?lim?. （２）limn??(?2)n?1?3n?1n??n?12n?133[(?)?1]34? （３）limn(n?1?n?1)?limn??222nn?1?n?122n???lim2nn(1?11?1?)n2n2n???1
1?(2n?1)n1?3???(2n?1)2 （４）lim?lim?2 n??n??1?n1?2???nn2111111111 （５）lim(1?2)(1?2)?(1?2)?lim(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?)(1?)
n??n??2233nn23n132435n?1n?11n?11?lim(???????)?lim(?)?. n??223344n??nn2n2 20
高等数学试题
