３．如果limxn?a，证明limxn?a。举例说明反之未必成立。
n??n??
４．若limxn存在，证明limnsinn??n??xn?0。 n2
５．若数列xn有界，又limyn?0，证明limxnyn?0。
n??n??
6
数列极限运算法则及存在准则 姓名 学号 １．是非题，若非，请举例说明。
（１） 若lim?xn存在，而limn??yn不存在。则limn??(xn?yn)不存在。（ ）
n?
（２） 若limxn存在，而limyn不存在。则lim(xnyn)不存在。（ ）
n??n??n??
（３） 若limn??un,limn??vn都存在，且满足un?vn(n?1,2,?),则limn??un?limn??vn。（
２．设有两个数列uunn与vn，已知limn??v?a?0，又limun?0，证明 limvn?nn??n??0。
３．求下列极限：
（１）lim4n3?2n?1n??2n3?3n2?1; （２）lim(?2)n?3nn??(?2)n?1?3n?1;
（３）limn(n2?1?n2?1); 1?3???(2n?1)n?? （４）limn??1?2???n;
）7
（５）lim(1?n??11112n； （６）)(1?)?(1?)lim(1?);
n??2232n2n
（７）lim(1?n??1n1352n?1)； （８）lim(?2?3???n)
n??2n?1222
．
４．证明数列xn ?
５．设0?x1?2,xn?1?2?xn(n?1,2,?)，证明数列xn有极限，并求出该极限。
６．求极限lim
111有极限。 ?2???n2?12?12?1narctgnxn?n2n??。
1?e?nx７．求极限lim。
n??1?e?nx
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§3函数 极限 姓名 学号 函数极限的定义及性质
１．用“??M”或“???”语言，写出下列各极限的定义。
（１）limf(x)?2; （２）limf(x)??1;
x???
（３）limx?2?f(x)?1;
2． 极限定义中的?与?有何特性？
3．用极限定义证明： （１）xlimsinx???x?0;
x??xlim??2?f(x)?4;
limx?1x??2x?1?12;
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（４） （２）
（３）lim?(2x?1)?1; （４）limx?1x?4x?2;
4．设f(x)??
5．若limf(x)?A?0，证明在x0的某一个去心邻域内f(x)?0。
x?x0?2x?1,x?1,问limf(x)是否存在？画出y?f(x)的图形 x?1,x?1?0,
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高等数学试题
