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第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用
【自主学习】
第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用
(本课时对应学生用书第 页)
自主学习 回归教材
1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos
C= .
1【答案】-2
72?82-1321【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C=2?7?8=-2.
2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=
3bc，sinC=23sinB，则角A= .
π【答案】6
【解析】由sinC=23sinB得c=23b，代入a2-b2=3bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，
a=7b，
b2?c2-a23π所以cosA=2bc=2，所以角A=6.
3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 n mile/h.
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(第3题)
176【答案】2
4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin
A+csin C-2asin C=bsin B，则角B= . 【答案】45°
【解析】由正弦定理得a2+c2-2ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，故cos
2B=2，因此B=45°.
5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为 .
?π??0，?【答案】?3?
a2?c2-b2a2?c2-ac【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=2ac=2ac1≥2，
π因为0 1.测量问题的有关名词 (1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角. 鑫达捷 & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & (2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°. (3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角. (4)坡角：是指坡面与水平面所成的角. (5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比. 2.求解三角形实际问题的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图； (2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解. 【要点导学】 要点导学 各个击破 利用正、余弦定理解常见的三角问题 例1 (2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asin B=23. (1)求角A的大小； (2)若D为BC的中点，求线段AD的长. 【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA. 3因为b=4，asin B=23，所以sin A=2. ππ又0 (2)若b=4，c=6，由余弦定理得 鑫达捷 & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 1a2=b2+c2-2bccos A=16+36-2×24×2=28， 所以a=27. 21又因为asin B=23，所以sin B=7， 27所以cos B=7. 因为D为BC的中点，所以BD=DC=7. 在△ABD中，由余弦定理， 得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B， 27即AD2=36+7-2×6×7×7=19， 所以AD=19. 变式 (2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b，求cos B的值； (2)若B=90°，且a=2，求△ABC的面积. 【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又因为a=b，所以b=2c，a=2c， a2?c2-b21由余弦定理可得cos B=2ac=4. (2)由(1)知b2=2ac. 因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac，得c=a=2. 所以△ABC的面积为1. 【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向. 鑫达捷 & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 实际问题中解三角形 例2 2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援. (例2(1)) (1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(7≈2.646，结果保留两位小数)； (2)求tan θ的值. 【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果. (例2(2)) 【解答】(1)如图(2)， 在△ABC中，AB=80， AC=40，∠BAC=120°， 鑫达捷
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