高 考 提 醒
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抓住中低档试题。既可以突出重点又可以提高复习信心，效率和效益也会双丰收。少做、不做难题，努力避免“心理饱和”现象的加剧。
保持平常心，顺其自然
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高三数学
第Ⅰ卷（共40分）
本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1.设集合A??x|x?a?,B???3,0,1,5?,若集合AIB有且仅有2个元素,则实数a的取
1
值范围为（ ） A. ??3,??? 【答案】B 【解析】 【分析】
根据集合的交集运算，由题意知AIB???3,0?，由此可得，0?a?1．
【详解】因为集合AIB有且仅有2个元素，所以AIB???3,0?，即有0?a?1． 故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数z?A. 第一象限 限 【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，化简复数z?1?2i，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数z?B. ?0,1?
C. 1,???
?D. ?1,5?
3?i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） 1?iB. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
3?i?3?i??1?i?2?4i???1?2i， 1?i?1?i??1?i?2所以复数z对应的点(1,?2)位于第四象限. 故选D.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.在VABC中,若a?6,A?60?,B?75?,则c?（ ） A. 4 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 22 C. 23 D. 26 2
根据三角形内角和求出角C，再根据正弦定理即可求出边c． 【详解】因为C?180o?75o?60o?45o，所以根据正弦定理知，
ac?，即sinAsinC6c?，解得c?26． oosin60sin45故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题． 4.设x?y,且xy?0,则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.
11? xy
B. lnx?lny
22C. 2?x?2?y 【答案】C 【解析】 【分析】
D. x?y
根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假． 【详解】对A，若x?y?0，则
11
?，错误； xy
对B，当x?y时，取x?1,y??2，根据对数函数的单调性可知，lnx?lny，错误； 对C，因为x?y，所以?x??y，根据指数函数的单调性可知，2?x?2?y，正确；
22对D，当x?y时，取x?1,y??2，x?y，错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题． 5.已知直线x?y?2?0与圆x?y?2x?2y?a?0有公共点,则实数a的取值范围为
22（ ） A. ???,0?
B. ?0,???
C. ?0,2?
D.
???,2?
【答案】A 【解析】 【分析】
3
依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．
x2?y2?2x?2y?a?0即为?x?1???y?1??2?a．
由22?1?1?22?2?a，解得a?0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
rrrrrrrrrr6.设三个向量a,b,c互不共线,则 “a?b?c?0”是 “以a,b,c为边长的三角形存
在”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
【详解】因为三个向量a,b,c互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设a?AB,b?BC，
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
rrrruuurruuurrrr而a,b,c互不共线，所以A,B,C三点不共线．
ruuurruuurruuurrrrrruuur当a?b?c?0时，c?CA，因为A,B,C三点不共线， a?AB,b?BC,c?CA， rrr所以以a,b,c为边长的三角形存在；
rrrruuurruuurruuurrrrr若以a,b,c为边长的三角形存在，但是a?AB,b?BC，c?AC，a?b?c?0． rrrrrrr故“a?b?c?0”是 “以a,b,c为边长的三角形存在”的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．
7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）
4
A. 100cm3 C. 300cm3 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 200cm3 D. 400cm3
根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．
h?46?，解得h?10． h101119622??200cm3． 故V???5?10???3?6?333【详解】设大圆锥的高为h，所以故选：B．
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题． 8.已知函数f?x?? x?1?k,若存在区间?a,b????1,???,使得函数f(x)在区间 ?a,b?上值域为?a?1,b?1?,则实数k的取值范围为（ ） A. ??1,??? ?1???,0? ?4?【答案】D 【解析】 【分析】
???a?1?a?1?k?0?f?a??a?1根据函数的单调性可知，，即得?，故可知a?1,b?1?fb?b?1??????b?1?b?1?k?0
的B. ??1,0?
C. ???1?,??? ?4?D.
5
是方程x2?x?k?0的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
??f?a??a?1?a?1?a?1?k?0?【详解】根据函数的单调性可知，?，即可得到?，即可
fb?b?1??????b?1?b?1?k?0???1?4k?0知a?1,b?1是方程x?x?k?0的两个不同非负实根，所以?，解得
xx??k?0?1221??k?0． 4故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在?1?x?的展开式中,x2的系数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】?1?x?5r展开式通项为Tr?1?C5??x?，令x?2，所以x2的系数为
r5C52??1??10．
故答案为：10．
2【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．
rrrrr10.已知向量a???4,6?,b??2,x?满足a//b,其中x?R,那么b?_____________
【答案】13 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标表示求出x，再根据向量模的坐标计算公式即可求出． 【详解】因为a//b，所以?4x?2?6?0，解得x??3．
rr的6
r2因此b?22???3??13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题． 11.在公差为d ?d?0?的等差数列?an?中,a1??1 ,且a2,a4,a12成等比数列, 则d?______________
【答案】3 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式，用d表示出a2,a4,a12，再根据a2,a4,a12成等比数列，列式即可求解． 【
详
解
】
因
为
an?a1?(n?1)d??1?(n?1)d，所以
a2??1?d,a4??1?3d,a12??1?11d，
而a2,a4,a12成等比数列，所以故答案为：3．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题． 12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个
?1?3d?1?11d?，解得d?3或d?0(舍去)．
?1?d?1?3d
【答案】3 【解析】 【分析】
根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．
7
【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA垂直于底面的四棱锥．
由三视图可知，PA?AD?AB?2,BC?1，AD?AB,BC?AB． 因为PA?面ABCD，所以VPAB,VPAD都是直角三角形．
在VPBC中，PB?22,BC?1,PC2?PA2?AB2?BC2?4?4?1?9，所以
PB2?BC2?PC2，VPBC也是直角三角形．
在△PDC中，PD?4?4?8,CD?1?2?5，而PC2?9，所以△PDC不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个． 故答案为：3
【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13.对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;
②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．
2222x2y2【答案】??1,答案不唯一
1648【解析】 【分析】
根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出a,b,c，即可得到满足题意的一个的双曲线标
8
准方程．
【详解】若选择①③，所以e=c=2,2a=8，解得a=4,c=8，所以ab2=c2-a2=82-42=48，
22xy因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为??1．
1648若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．
x2y2故答案为：??1，答案不唯一．
1648【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润
r(单位:元)与时间t(1?t?20,t?N,单位:天)之间的函数关系式为r?售量y (单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y?120?2t ①第4天的销售利润为__________元;
1t?10, 且日销4m(m?N* )元给 “精准扶贫”②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠 对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是__________．
【答案】 (1). 1232 (2). 5 【解析】 【分析】
①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润； ②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】①因为r?4??为11?112?1232；
②设捐赠后的利润为W元，则W?y?r?m???120?2t??化简可得，W??t??2m?10?t?1200?120m．
21?4?10?11，y?4??120?2?4?112，所以该天的销售利润4?1?t?10?m?， ?4?12令W?f?t?，因为二次函数的开口向下，对称轴为t?2m?10，为满足题意所以，
9
?2m?10?20??f?1??0，解得m?5． ?n?N*?故答案为：①1232；②5．
【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f?x??2cosxgsin?x?（1）求函数f?x?的最小正周期; （2）求函数f?x?在区间???????. 6???? ,0?上的最小值和最大值. ?2?【答案】（1）π（2）最大值0．最小值?【解析】 【分析】
3. 2（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成y?Asin??x????k的形式，即可求出函数f?x?的最小正周期. （2）由x?????7?????? ,0?，求出t?2x????,??，再根据y?sint的单调性可求出
6?66??2?函数f?x?的最大最小值． 【详解】（1）因为f(x)?2cosx?(?3sinxcosx?cos2x
31sinx?cosx) 22?311sin2x?cos2x? 222π1?sin(2x?)?
62最小正周期为T?所以函数f(x)2π?π． 2（2）因为?π?7???7πππ,??上单调递?x?0，所以??t?2x???，而y?sint在??2?6662?610
减，在???????7?,??上单调递增，而sin???6?26??????sin????， ??6?3πππ??，即x??时，f(x)取得最小值?， 6262ππ7π当t?2x???，即x??时，f(x)取得最大值0．
266所以当t?2x?【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．
16.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
老年人 满意度 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 10分(满12 意) 5分(一般) 2 0分(不满1 意)
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
的乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 1 20 2 20 3 6 2 4 0 6 3 4 1 9 4 （2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A市出发到B市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 【答案】（1）解析 【解析】 【分析】
11
292（2）分布列见解析，数学期望（3）建议甲乘坐高铁从A市到B市.见
550（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，
39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是
151?，755k2?k?1?1?k?1??所以X:B?2,?，即P?x?k??C2???1??，即可求出X的分布列和数学期望；
5???5??5?（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)?（2）由题意，X的所有可能取值为：01，，2.
因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
19?3929?． 10050151?， 7551216?(1?)?， 所以P(X?0)?C02525118P(X?1)?C1??(1?)?， 25525121P(X?2)?C2， 2?()?525为老年人概率是
所以随机变量X的分布列为： 0 1 8 252 1 25 16 25
故E(X)?0?16812?1??2??． 2525255（3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
52?10?12?5?11?0116?
52?12?11154?10?14?5?7?022?乘坐飞机的人满意度均值为：
4?14?75由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
12
因为
11622?， 155所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
ABC?A1B1C1中,BB1?平面 ABC,VABC为正三角形, 侧面ABB1A117.如图,在三棱柱 是边长为2的正方形,D为BC的中点.
（1）求证:A1B//平面AC1D; （2）求二面角C?AC1?D的余弦值;
（3）试判断直线A1B1与平面AC1D的位置关系,并加以证明. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
（1）根据线面平行的判定定理,在面AC1D内找一条直线平行于A1B即可．所以连接A1C交
15（3）直线A1B1与平面AC1D相交.证明见解析 5AC与点E，再连接DE，由中位线定理可得DE//A1B，即可得证；
（2）取B1C1的中点F，连接DF．分别以DC，DF，DA为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；
（3）根据平面AC1D的法向量与直线A1B1的方向向量的关系，即可判断直线A1B1与平面
AC1D的位置关系．
【详解】（1）由题意，三棱柱ABC?A1B1C1为正三棱柱．
13
连接A1C． 设A1CIAC1?E，则E是A1C的中点．连接DE， 由D，E分别为BC和A1C的中点，得DE//A1B．又因为DE?平面AC1D，A1B?平面AC1D， 所以A1B//平面AC1D．
（2）取B1C1的中点F，连接DF．
因为VABC为正三角形，且D为BC中点，所以AD?BC． 由D，F分别为BC和B1C1的中点，得DF//BB1， 又因为BB1?平面ABC， 所以DF?平面ABC，即有DF?AD，DF?BC．
分别以DC，DF，DA为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则A(0,0,3)，C1(1,2,0)，C(1,0,0)，D(0,0,0)，B(?1,0,0)，
所以uDCuuur，uDAuur?(0,0,3)，uCAuur?(?1,0,3)，uCCuuur1?(1,2,0)1?(0,2,0)，
设平面ACunr1D的法向量1?(x1,y1,z1)，
由uDAuur?unuruuuuruur??3z1?0,1?0，DC1?n1?0，得??
?x1?2y1?0,令y1?1，得n1?(?2,1,0)． 设平面AC1C的法向量nuur2?(x2,y2,z2)，
由uCAuur?unuruuuuruur???x2?32?0，CC1?n2?0，得?z2?0,? ?2y2?0,令zuur2?1，得n2?(3,0,1)．
u设二面角C?ACnuruur1?D的平面角为?，则 |cos?|?||unur1?nu2nur|?15．
1|?|2|5由图可得二面角C?AC1?D为锐二面角，
14
所以二面角C?AC1?D的余弦值为15． 5
（3）结论：直线A1B1与平面AC1D相交．
uuur证明：因为AB?(?1,0,?3)，A1B1//AB，且A1B1=AB，
uuuur所以A1B1?(?1,0,?3)．
uuruuuuruur又因为平面AC1D的法向量n1?(?2,1,0)，且A1B1?n1?2?0，
uuuurur所以A1B1与n1不垂直，
因为A1B1?平面AC1D，且A1B1与平面AC1D不平行， 故直线A1B1与平面AC1D相交．
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
x218.已知椭圆W: ?y2?1右焦点为F,过点F且斜率为k?k?0?的直线l与椭圆W4交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. （1）证明:点M在y轴的右侧;
（2）设线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别相交于点C,D.若△ODC与VCMF的面积相等,求直线l的斜率k 【答案】（1）证明见解析（2）?【解析】 【分析】
的2 415
（1）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M的横坐标即可证出；
（2）根据线段AB的垂直平分线求出点C,D的坐标，即可求出△ODC的面积，再表示出
VCMF的面积，由VODC与VCMF的面积相等列式，即可解出直线l的斜率k．
【详解】（1）由题意，得F(3,0)，直线l：y?k(x?3)（k?0） 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
?y?k(x?3),联立???x2?4?y2?1,消去y，得(4k2?1)x2?83k2x?(12k2?4)?0，
显然???，x83k21?x2?4k2?1，
M的横坐标xx1?x243k2则点M?2?4k2?1， x43k2因为M?4k2?1?0，
所以点M在y轴的右侧．
（2）由（1）得点M的纵坐标ykM?k(xM?3)??34k2?1． 即M(43k23k4k2?1,?4k2?1)．
3k143k2所以线段AB的垂直平分线方程为：y?4k2?1??k(x?4k2?1)．
令x?0，得D(0,33k33k24k2?1)；令y?0，得C(4k2?1,0)．
所以VODC的面积S?133k33k227k2?|k?ODC2?||4k2?1|?|4k2?1|=2(4k2?1)2， VCMF的面积S?133k2?CMF2?|3?3k3(k2?1)?|k|4k2?1|?|?4k2?1|?2(4k2?1)2． 因为VODC与VCMF的面积相等，
16
27k2?|k|3(k2?1)?|k|2?所以，解得． k??2(4k2?1)22(4k2?1)24所以当VODC与VCMF的面积相等时，直线l的斜率k??2． 4【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 19.已知函数f?x??e?ax?x12x,其中a??1 2（1）当a?0时,求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程; （2）当a?1时,求函数f?x?的单调区间; （3）若f?x????12x?x?b对于x?R恒成立,求b?a的最大值. 2【答案】（1）x?y?1?0（2）f(x)的单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0).（3）1?1 e【解析】 【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；
x（2）求出导数，依据f?(x)?e?1?x在???,???上单调递增，且f?(0)?0，分别解不等
式f?(x)?0以及f?(x)?0，即可求出函数f?x?的单调增区间和减区间；
xx（3）由题意得e?(a?1)x?b≥0在x?R上恒成立，设g(x)?e?(a?1)x?b，用导数讨
论函数的单调性，求出最小值g(ln(a?1))≥0，可得b?a≤1?(a?1)ln(a?1)．再设h(x)?1?xlnx(x?0)，求出函数h?x?的最大值，即为b?a的最大值．
【详解】（1）由f(x)?ex?12x，得f?(x)?ex?x， 2所以f(0)?1，f?(0)?1．
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x?y?1?0． （2）由f(x)?ex?x?12x，得f?(x)?ex?1?x． 2 17
x因为f?(0)?0，且 f?(x)?e?1?x在???,???上单调递增，所以
x由f?(x)?e?1?x?0得，x?0，
所以函数f(x)在(0,??)上单调递增 ，
x由f?(x)?e?1?x?0得，x?0
所以函数f(x)在(??,0)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0)．
x（3）由f(x)≥x2?x?b，得e?(a?1)x?b≥0在x?R上恒成立．
12x设g(x)?e?(a?1)x?b，
x则g?(x)?e?(a?1)．
x由g?(x)?e?(a?1)?0，得x?ln(a?1)，（a??1）．
随着x变化，g?(x)与g(x)的变化情况如下表所示：
x g?(x) (??,ln(a?1)) ln(a?1) (ln(a?1),??) ? ↘ 0 ? g(x)
极小值 ↗ 所以g(x)在(??,ln(a?1))上单调递减，在(ln(a?1),??)上单调递增． 所以函数g(x)的最小值为g(ln(a?1))?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b． 由题意，得g(ln(a?1))≥0，即 b?a≤1?(a?1)ln(a?1)． 设h(x)?1?xlnx(x?0)，则h?(x)??lnx?1． 因为当0?x?11时，?lnx?1?0； 当x?时，?lnx?1?0， ee所以h(x)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递减．
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1e1e所以当x?111时，h(x)max?h()?1?．
eee1112，b?a?1?(a?1)ln(a?1)，即a??1，b?时，b?a有最大值为1?． eeee所以当a?1?【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
·?a100?205 ，且对于任意20.设整数集合A??a1,a2,?,a100?,其中1?a1?a2??·i,j?1?i?j?100?，若i?j?A，则ai?aj?A.
（1）请写出一个满足条件的集合A;
（2）证明:任意x??101,102,?,200?,x?A; （3）若a100?205,求满足条件的集合A的个数.
【答案】（1）A?{1,2,3,L,100}（2）证明见解析 （3）16个 【解析】 【分析】
（1）根据题目条件，令an?n，即可写出一个集合A?{1,2,3,L,100}； （2）由反证法即可证明；
（3）因为任意的x??101,102,?,200?,x?A，所以集合AI{201,202,L,205}中至多5个元素.设a100?m?b≤100，先通过判断集合A中前100?m个元素的最大值可以推出
ai?i(1≤i≤100?m)，故集合A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．
【详解】（1）答案不唯一． 如A?{1,2,3,L,100}； （2）假设存在一个x0?{101,102,L,200}使得x0?A， 令x0?100?s，其中s?N且1≤s≤100， 由题意，得a100?as?A，
由as为正整数，得a100?as?a100，这与a100为集合A中的最大元素矛盾， 所以任意x?{101,102,L,200}，x?A．
（3）设集合AI{201,202,L,205}中有m(1≤m≤5)个元素，a100?m?b，
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由题意，得a1?a2?L?a100?m≤200，200?a100?m?1?a100?m?2?L?a100， 由（2）知，a100?m?b≤100． 假设b?100?m，则b?100?m?0． 因为b?100?m≤100?100?5?5?100?m， 由题设条件，得a100?m?ab?100?m?A，
100?100?200， 因为a100?m?ab?100?m≤100， 所以由（2）可得a100?m?ab?100?m≤这与a100?m为A中不超过100的最大元素矛盾，
100?m， 所以a100?m≤又因为1≤a1?a2?L?a100?m，ai?N， 所以ai?i(1≤i≤100?m)．
任给集合{201,202,203,204}的m?1元子集B，令A0?{1,2,L,100?m}UBU{205}， 以下证明集合A0符合题意：
对于任意i,j(1≤i≤j≤100)，则i?j≤200． 若i?j?A0，则有i?j≤100-m，
所以ai?i，aj?j，从而ai?aj?i?j?A0． 故集合A0符合题意，
所以满足条件的集合A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A有24?16个．
【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．
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北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）
