数学基础 教案
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 微分的概念 定义1 设函数f(x)在点x0的某邻域U (x0) 内有定义，且x0+?x ? U (x0). 如果函数的增量?y?f(x??x)?f(x)可以表示为?x的线性函数与一个比备注： ?x高阶的无穷小的和，即 ?y?A?x??(?x)（A为与?x无关的常数）, 称函数y?f(x)在点x0处可微，并称A ?x为函数f(x)在点x0处的微分，记为 dyx?x0，即 dyx?x0?A?x. 由定义可见,所谓函数y?f(x)在点x0可微，即函数在点x0的改变量?y?f(x0??x)?f(x0)可以表示为两项之和： 第一项dy?A?x是Δx的线性函数，它是便于计算的Δx的线性函数，是表达，故把第一项 ?y的主要部分（可以证明它与Δy在Δx?0条件下是等价无穷小）称为Δy的线性主部. 第二项是比无穷小Δx高阶的无穷小，它的具体表达式往往是复杂的，但在 |Δx|相当小时，在近似计算Δy中可以忽略不计．即有 ?y?dy. 如果函数y?f(x)在点x0可微，如何求常数A？下面的定理不但解决了这个问 题，而且还给出了可微与可导的关系. 定理1 函数y?f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数y?f(x)在点x0处可导. 由微分的定义， dy?f?(x)?x?[x]??x?1??x??x， 比较两者，即得 dx?Δx，即自变量的微分等于自变量的改变量. 于是，可以微分表达式 dy?df(x)?f?(x)Δx改为 dy?df(x)?f?(x)dx. … … (1) 今后，以(1)作为函数y?f(x)的微分的表达式. 实际上我们使用的导数的记法(微分之商). 例1 分别计算函数y?x2在点x?2处，⑴Δx?0.1，⑵Δx?0.01时的增量和微分. 解：因为 ?y?(x??x)2?x2=2x?x?(?x)2, dy?y??x?2x?x； 所以⑴Δx?0.1时，?y?2?2?0.1?(0.1)2?0.41， dy?2?2?0.1?0.4， Δy?dy?0.01； ⑵Δx?0.01时，?y?2?2?0.01?(0.01)2?0.0401， dy?2?2?0.01?0.04， Δy?dy?0.0001. 16
dy?f?(x)就是由(1)式得到，因此导数又称作微商dx 由此题可见：若用f?(x0)?x代替Δy可以简化计算，其误差也较小，且Δx越小，误差就越小. 为了更好的理解微分的概念，我们探讨一下微分的几何意义. 二、 微分的几何意义 设P(x0,y0)是函数y?f(x)的图形曲线上的一定点,给自变量x有微小增量?x时，可得 曲线上另一点Q(x0??x,y0??y)， y Q ?由图2-4知： ??y P M dy PM??x,QM??y，设 ?曲线在点P的切线的倾角为? ，则 0 x0 x0+?x x MN?PM?tan???x?f?(x0)?dy， 图2-4 所以，当?y是曲线上割线的增量，dy就是曲线切线的相应增量. 三、 微分公式与微分运算法则 由dy?df(x)?f?(x)dx可知，要计算函数的微分,只要求出函数的导数,再乘以自变量的微分就可以了,所以我们从导数的基本公式就可以直接推出微分的基本公式和法则. 1基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，上表所示。 2． 函数和、差、积、商的微分法则 由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表中u?u(x),v?v(x)都可导）． 3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性） 一阶微分形式不变性：设f是可微函数，y?f(u)，则无论u是自变量，或是另一个变量x的可微函数，都同样有dy?f?(u)du． 例2 求y?cos(3x?2)的微分. 解：dy?d[cos(3x?2)]??sin(3x?2)dcos(3x?2)??3sin(3x?2)dx e3x例3 求y?的微分. x17
e3xxd(e3x)?e3xdx3xe3xd(x)?e3xdx3x?13x)???edx 解： dy?d(xx2x2x2例4 求有方程exy ?3x5y确定的隐函数y的微分dy. 解： 对所给方程的两边分别求微分,得 xyxyd(e)?d(35) xyyxxyed(xy)?5d(3)?3d(5) xyxyxye（xdy?ydx）?35ln3dx?35ln5dy 由于exy?3x5y,故上式可化为 xdy?ydx?ln3dx?ln5dy dy?ln3?ydx x?ln5四、微分的应用 1、在近似计算中的应用 y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)?0，且?很小时，有?y?dy?f?(x0?x) 即?y?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x （1） 亦即 f(x0??x)?f(x0)?f?(x0?x) （2） 令x0??x?x，亦有f(x0)?f?(x0)(x?x0) （3） 若f(x0)与f?(x0)都易算，则可利用（1）来近似计算f(x)，这种近似计算实质是用x的线性函数f(x0)?f?(x0)(x?x0)来近似表达f(x)，从导数几何意义可知，这也就是用曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线来近似代替曲线（就切点邻近部分来说）。 例5、半径为10CM的金属圆片加热后，半径伸长了0.05CM，问面积增大了多少？ 解：设圆的面积为A，半径为r，则A=?r 现r=10CM，?r=0.05CM，求面积对应增量， 2?A?dA??r2r?10?r=2?*10*0.05=? 18
例6、求31.02的近似值 解：利用（2）或（3）近似计算时，首先要设出函数y=f(x)，确定出x0，使得求值的那点距x0很近，即?x?x?x0很小， 设f(x)=3x，取x0=1，?x?0.02 则31.02=f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x 111f(x0)?1，f?(x0)?*? 33x23011151?31.02?1?*0.02?1? ?3150150
19
第二章 导数与微分教案
