忠信笃行 自强不息 南昌工学院教学档案
《 基础数学 》教案
标题 2.3隐函数及由参数方程确定的函数的导数 编号 【教学目的要求】会求隐函数的导数，求由参数方程确定的函数的导数，会求相关变化率。 【教学重点】隐函数的导数，求由参数方程确定的函数的导数 【教学难点】参数方程求导 【教学方法】讲授 【教学时数】 实施步骤 教学内容提要 时间 【课外作业】 11
数学基础 教案
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、隐函数的导数 我们在前面所遇到的函数，都可以表示为y?f(x)的形式，如y?sin备注： x， y?arccos2x等，这样的函数叫做显函数. 有时，我们会遇到用另外一种形式表示的函数，就是y与x的函数关系是由一个含x和y的方程F(x,y)?0所确定，例如x?y3?1?0中，如果当变量x在某一 范围内取值时，总有相应的变量与之对应以满足方程，则称F(x,y)?0方程在该 区域内确定y是x的隐函数.称y?f(x))是方程F(x,y)?0确定的隐函数的显 式.例如方程3x?y?0确定的隐函数的显式是y?3x.将方程确定的隐函数表达为初等函数形式的显式称为隐函数的显化.但有时显化是困难的，有时是不可能的（如隐函数y?f(x)不是初等函数）.如xy?ex?y . 在实际问题中，求隐函数的导数并不需要先将隐函数显化，而是可以利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对x求导，并注意到其中变量y是x的函数，就可以直接求出隐函数的导数. 例1 求方程e?xy?e?0确定的隐函数y?f(x) 的导数. 解： 等式两端对x求导数，得， eyy??y?xy??ex?0， （在等式的左端对x求导过程中，视y?f(x)为复合函数的中间变量，因为yxef(x)?xf(x)?ex?0即有 ef(x)f?(x)?(x)?f(x)?xf?(x)?ex?0） ex?y. x?ey一般地，设方程F(x,y)?0确定了隐函数y?f(x)，并设这隐函数y?f(x)已代入F(x,y)?0，则方程F(x,y)?0是恒等式（即F(x,y)?0），在恒等式两端对x求导（左端的求导过程中，视y为复合函数的中间变量），得 [F(x,y)]??0， 解得 y??f?(x)?从中解出y?，即是隐函数y?f(x)的导数y?=f?(x). 例2求由方程y5?2y?x?3x7?0确定的隐函数在点x = 0处的导数. 解： 将x= 0代入方程，得y= 0. 方程两端对x求导，得5y4dydy?2?1?21x6?0 dxdxdydxx?0将x= 0，y = 0代入上式，解之得 ?1. 212
注： 对于求导函数利用三角公式、代数恒等式等先进行整理再求导，可简化 运算. 求多个因式连乘除或乘方的函数的导数时，如用“商的求导法则”求导，必然带来冗长的运算．下面介绍一个较为简便的方法——对数求导法.具体方法是先对等式两端取对数，再按隐函数求导法则运算．通过下面的两个例子介绍对数求导法： 例3 求函数y?3(x?1)(x?2)的导数. (x?3)(x?4) lny?1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)]解： 等式两端取对数,得 3 两端对x求导，即得 (x?1)(x?2)111y??y(1?1?1?)?3(?1?1?) x?1x?2x?3x?4(x?3)(x?4)x?1x?2x?3x?4 对于幂指函数，对数求导法也很有效. 例4 求y?xx(x?0)的导数. 解法1： 等式两端取对数，得 lny?xlnx，两端对求导，得1y??lnx?1， yx所以， y??x(1?lnx) 解法2： 因为y?xx?ex?lnx ，按复合函数求导法则， xlnx??u??(xlnx)?=?xx(1?lnx). 有 y?x?yux?e二、参数方程所确定的函数的导数 ?x??(t)设有参数方程 ? ?y??(t)它可以确定变量x与y之间的一个函数关系y?f(x)，称此函数为由参数方程确定的函数．很多实际问题所确定的函数关系是由参数方程给出的.设其中x?φ(t)有反函数t???1(x)，视t是中间变量，由复合函数概念就建立了x与y的函数关系y??(??1(x)).根据复合函数求导法则，有 dydt?1(x)]??y??t?， 或 dyy?； ?x???(t)[?txdxdtdx1（dt?1）再根据反函数求导法则 t?，代入上式，得到 x?xt?dxdxdty?x?yt?，或 dy???(t) xt?dx??(t)这就是参数方程所确定的函数的求导法则. x?acosx,例5 已知椭圆的参数方程为 ? ??y?bsinx,求椭圆在t??的相应点M(x0,y0)处的切线方程. 4?解： 由 t?4得 13
x0?acos??2ay0?bsin??2b42 42， 椭圆在点M的切线方程的斜率为 y?xt??4(bsint)??(acost)?t??4bcost??asintt??4b ??； a xy所以，所求的切线方程为： y?2b??b(x?2a)，即??2. aba22
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《 基础数学 》教案
标题 2.4 函数的微分 编号 【教学目的要求】掌握微分的定义，几何意义，微分形式的不变性，微分公式与运算法则 【教学重点】 微分的定义，微分形式的不变性 【教学难点】 微分的运算 【教学方法】讲授 【教学时数】 实施步骤 教学内容提要 时间 【课外作业】
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第二章 导数与微分教案
