《 基础数学 》教案
标题 2.2函数的求导法则 编号 【教学目的要求】掌握基本初等函数的导数公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则 了解反函数求导高阶导数 【教学重点】四则运算求导法则，复合函数求导法则 【教学难点】，复合函数求导法则 【教学方法】讲授 【教学时数】 实施步骤 教学内容提要 时间 【课外作业】
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数学基础 教案
教 学 内 容 （教 学 时 数：） 一、 函数求导法则 定理1 如果函数u?u(x)和v?v(x)在x处都可导，则函数备注： f(x)?u(x)?v(x)在点x处可导，且f?(x)?u?(x)?v?(x) 。 定理2 如果函数u?u(x)和v?v(x)在点x处都可导，则函数f(x)?u(x)?v(x)在点x处可导，且f?(x)?u?(x)v(x)?u(x)v?(x) 函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积．这个法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形. 特别地，若v?c（c为常数），那么(cv)??cv?．这就是说常数因子与函数乘积时，常数因子可以提到求导记号的外面. 定理3 如果函数u?u(x)和v?v(x)在点x处都可导且v(x)?0，则函数u?(x)v(x)?u(x)v?(x)u(x)x?f(x)?在点处可导，且 f(x)?2v(x)v(x)例1 y?2x?5x?3x?7，求y?. 解: y??(2x?5x?3x?7)??(2x)??(5x)??(3x)??(7)? =2(x)??5(x)??3(x)??(7)??6x?10x?3 例2 y?4sinx?2cos322323232?6，求y?. 解: y??(4sinx?2cos)??(4sinx)??(2cos)? ??66?4(sinx)??(2cos)?=4cosx 6?2-5x例3设y? ，求y?. lnx2-5x(2-5x)?lnx?(lnx)?(2-5x))??解: y??( 2lnxlnx7
15xln5lnx?(2-5x)5xxln5lnx?(2-5x)x ??22lnxxlnx常见基本求导公式表如下： ???1、?C??0，2、x???x??1，3、?sinx??cosx ?????4、?cosx???sinx，5、?tanx??sec2x，6、?cotx???csc2x ???7、?secx??secxtanx，8、?cscx???cscxcotx，9、ax?axlna ??10、ex????ex?，11、?logax??11?x21?1，12、?lnx??， xxlna11?x2?13、?arcsinx???，14、?arccosx???， ?15、?arctanx??二、复合函数求导 11???，16、。 arccotx??1?x21?x2定理4 如果函数u??(x)在点x0可导，而y?f(u)在点u0??(x0)可导，则复合函数y?f[?(x)]在点x0可导，且其导数为例4 求y?sindydxx?x0?f?(u0)???(x0). x的导数. x可以看作由函数y?sinu,u?x复合而成的，由复 解： 函数y?sin合函数求导法则得y??(sinu)?(x)?=cosu?例5 求y?lntan12x?cosx2xx的导数. 2x1x1xx1解： y??(lntan)???(tan)??sec2()?()???cscx xx2222sinxtantan22sin2x例6 求y?的导数. 1?cosx解： 先化简，再求导： 8
sin2x1?cos2xy???1?cosx 1?cosx1?cosx y??(1?cosx)??sinx 三、反函数求导法则 若函数x??(y)在某区间Iy内可导、单调且??(y)?0，则它的反函数y?f(x)在对应区间Ix内也可导，且 f?(x)?dy11 或 ?dxdx??(y)dy例7 求下列函数的导数. （1）y?2?4x；（2）y?2x5xx5sinx；（3）y?ea 4xx解：（1）y??(2)?(4x)?2ln2?20x （2）y??2sinxln2(sinx)??y??2sinxln2cosx xx（3）y??[(ea)]??(ea)(1?lna) 例8 求函数y?arctanx的导数. 解： 因为y?arctanx是x?tany的反函数，所以 y??(arctanx)??11111???? x?y(tany)?sec2y1?tan2y1?x2即 (arctanx)?=1 21?x类似地，可推得 (arccotx)?=?例9 求下列函数的导数. 1 21?x2（1）y?arccos2x；（2）y?arccot(3?2x)。 解：（1）y??(arccos2x)???11?(2x)2(2x)???21?4x2 （2）y??[arccot(3?2x)]???212(3?2x)? 1?(3?2x2)2??4x 245?6x?2x9
四、高阶导数 1.定义：函数y?f(x)的导数y'?f'(x)仍为x的函数，我们把y'?f'(x)的导备注： d2y数叫做y?f(x)的二阶导数，记作y''或f''(x)或 2dx即y''?(y')' f''(x)?(f'(x))' dyddy?() dx2dxdx2相应地，把y?f(x)的导数f'(x)叫做y?f(x)的一阶导数。 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数。 一般地，n?1阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作： y',y'',y''',y(4),......,y(n)或f'(x),f''(x),f'''(x),f(4)(x),......,f(n)(x) dyd2yd3yd4ydny,2,3,4,......,或 ndxdxdxdxdx二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 2.注：由高阶导数定义可见，求高阶导数就是多次接连求导，用前面学过的求导方法来计算高阶导数即可。 例2：求下列函数的n阶导数 x （1）y?e （2）y?a axax解：（1）y'?ae y''?ae,?,y2ax(n)?aneax x(n)（2）y'?alna y''?(lna)a,?,yx(n)x a?e时 (e)?e x2?(lna)nax 例3：求y?ln(1?x)的n阶导数。 解：y'?11?21?2?31(4)y'''?y?? y''?? (1?x)3(1?x)4(1?x)21?x(n) L,y ?(?1)n?1(n?1)! (1?x)n
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第二章 导数与微分教案
