《 数学基础 》教案
标题 2.1导数的概念 编号 【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义 【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义 【教学难点】导数的几何意义 【教学方法】讲授 【教学时数】 实施步骤 教学内容提要 时间 【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例 在实际问题中，经常需要讨论自变量x的增量?x与相应的函数y?f(x)的增量备注： ?y之间的关系，例如，它们的比?y?y以及?x?0时的极限．下面讨论曲线的 ?x?x切线问题．这个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系． 曲线的切线的斜率 yy?f(x)N TCM ??ox0x0??xx 图2-1 首先介绍曲线y?f(x)在一点M(x0,y0)处的切线，如图2-1所示在曲线上取与M(x0,y0)邻近的一点N(x0??x,y0??y)，作割线MN，当N沿着曲线逐渐向点M接近时，割线MN将绕着点M转动，当点N沿着曲线无限接近M时，割线MN的极限位置MT就叫做曲线y?f(x)在点M处的切线 下面求曲线y?f(x)在点M处切线的斜率，设割线MN的倾斜角为?，则割线MN的斜率为tan???yf(x0??x)?f(x0)? ?x?x又设切线MN的倾斜角为?，那么当?x?0时，割线MN的斜率的极限就是切线的斜率，即 k?tan??limtan??lim???f(x0??x)?f(x0)?y??lim（??） ?x?0?x?x?02?x二、导数的定义 定义1 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量?x（点xo??x仍在该邻域内）时，相应函数f(x)取得增量 2
?y?f(x0??x)?f(x0)；如果当?x?0时?y与?x之比的极限存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)，即 f?(x0)?lim 也可记作?yf(x0??x)?f(x0) ?lim?x?0?x?x?0?xdydxdf(x)dxy?x?x0，x?x0或x?x0. 如果y?f(x)在区间（a,b）中的每一个确定的值x，对应着一个确定的导数值f?(x)，这样就确定了一个新的函数，此函数成为函数y?f(x)的导函数。即f?(x)= limf(x??x)?f(x)?x，也可记作y?，?x?0dydf(x)或.在不致发生混dxdx淆的情况下，导函数也简称导数. 三、求导数 由导数的定义，可以求得函数y?f(x)的导数的一般步骤： （1） 求函数的增量： ?y?f(x??x)?f(x) （2） 求比值：?yf(x??x)?f(x)=lim ?x?0?x?x?y ?x?0?x（3） 求极限：f?(x)?limn例1求函数f(x)?x (n为正整数)在的导数. 解: f?(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x) ?x1n?12n?2nCnx?x?Cnx?x2???Cn?xn?lim ?x?0?x?lim=nx(x??x)n?(x)n?x ?x?0n?1n??nxn?1(x)即 3
例2 求函数f(x)?sinx的导数． 解: f?(x)= limf(x??x)?f(x)?x?x?0=limsin(x??x)?sin(x)?x ?x?02cos(x?=lim?x?0?x?x?xsin)sin2?cosx 22=limcos(x??x)?x?0?x2?x2 即，(sinx)??cosx 类似地，可求得(cosx)???sinx 用导数的定义还可求得 (logax)??当a?e时，有(lnx)??1 xlna 1 x四、左、右导数 既然导数是比值?y?x?0当的极限，那么，下面两个极限 ?x lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y?y，lim? ?lim??lim??x?0?x?x?0?x?x?0?x?x分别叫做函数y?f(x)在点x0处的左导数和右导数，且分别记为f??(x0)和f??(x0). 根据左、右极限的性质，我们有下面定理： 定理1函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f??(x0)和右导数f??(x0)都存在且相等． 例3 求函数f(x)?x在x?0处的导数． 解: 函数f(x)?x在x?0处的左导数f??(x0)=-1及右导数f??(x0)=1虽然都存在，但不相等，故f(x)在x?0处不可导．(如图2-2) yy?xo x图2-2 4
五、导数的几何意义 由本节中切线问题的讨论及导数的定义可知：导数f?(x0)在几何上表示曲线 y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率，即 f?(x0)=tan? （其中?是切线的倾角） 根据导数的几何意义，并且应用直线的点斜式方程，曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0) 如果f?(x0)?0，那么曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为 y?f(x0)??321(x?x0)f?(x0) 例4 求曲线y?x的通过点（1，4）的切线方程． 3解: 因为y??(x)??(x)2，由导数的几何意义知，曲线y?x2在点 （1，4）2处切线斜率为y?3213x?1?(x)?32x?13?(x)221x?1?3， 2所求的切线方程为： y?4?3311(x?1)即 y?x? 222六、 函数的可导性与连续性的关系 定理2 如果函数y?f(x)在点x处可导，则函数y?f(x)在该点必连续． 例5 讨论f(x)?3x在x?0处的连续性与可导性。 3解: 根据导数的定义有f?(x)?lim以函数在x?0处不可导。 ?x?0?x1?lim，其极限值不存在，所23?x?0?x?x由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件.
5
第二章 导数与微分教案
