名师精编 精品教案
高等数学主要的研究对象是初等函数．
1. 初等函数、复合函数的关系与分解 （1） 初等函数与复合函数的关系
复合函数与初等函数是并列的概念．是复合函数，可以是初等函数，也可以不是初等函数；是初等函数，可以是复合函数，也可以不是复合函数．一个函数，可属于多种函数分类．
（2） 函数的分解
函数的分解形式依分解要求不同而不同．一般地，高等数学中要求掌握两类函数的分解．
① 复合函数的分解：把一个复合函数（一层或多层）分拆成几个函数，称为复合
函数的分解．
② 初等函数的分解：把一个初等函数分拆成几个函数，称为初等函数的分解． 或 y?sin u，u?【注意问题】
① 对于由两个函数构成的函数，可以讨论它是否为复合函数．对一个复杂函数笼统地问是否复合函数是没有意义的，应具体地问这个复杂函数的哪一层是否复合关系．复合关系只是针对所论层的内函数与外函数两个函数之间的相互关系，而不涉及该层以外的函数是否复合函数．如函数y?
y?f(u)?u， u?g(x)?x?
x+x+x可化为
tl，t?x3，v?sin w，w?，l?x2，s?sin x．（许康P61） vsx+x，
按复合函数的定义，f(u)和u?g(x)可以复合成复合函数；但
u?x?
x+x 中既有四则运算，又有复合运算，是初等函数，而无法说它是不是复合函数． ② 又如问y?2x是否复合函数，因为复合函数是两个函数间的复合，如果不指明问是否某两个函数的复合函数，如何回答呢？要是指明问y?2x是否由y?u和u?2x复合而成的复合函数，则可以回答是两者的复合函数（当然这种复合无实际意义．对于简单函数不再讨论其复合性）．
2. 三角函数
（1） 基本三角函数关系
① 对角线两端二函数的乘积为1（倒数关系）． ② 周界上任一函数等于它相邻两函数的乘积．
③ 阴影三角形中两上顶角函数的平方和等于下角函数的平方． （2） 任意三角函数的诱导公式（可记为：奇变偶不变，正负看象限．）
sin(90??α)?cosα， sin(180??α)??sinα， sin(270??α)??cosα sin(90??α)?cosα， sin(180??α)?sinα， sin(270??α)??cosα （3） 两角和的三角函数
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sin(x±y)?sinxcosy±cosxsiny， cos(x±y)?cosxcosy?sinxsiny tan(x±y)?
tanx±tanycotxcoty1， cot(x±y)?
1tanxtanycoty±cotx（4） 倍角的三角函数
sin2x?2sinxcosx
cos2x?cos2x?sin2x?1?2sin2x?2cos2x?1
cot2x-12tanxtan2x?， cot2x?
2cotx1-tan2x（5） 三角函数的和、差化积公式
， x+yx-yx+yx-y)cos()， sin x?sin y?2cos()sin() 2222x+yx-ycos x?cos y?2cos()cos()， cos x?cos
22x+yx-yy??2sin()sin()
22sin(x±y)sin(x±y)tan x±tan y?， cot x±cot y?±
cosxcosysinxsinysin x?sin y?2sin(sin x±cos x?2sin(x±
π)?±42cos(x?
π) 4记忆方法: 正奇偶奇相加；正偶奇奇相减； （6） 三角函数的积化和、差公式
2sin x?cos y?sin(x?y)?sin(x?y)， 2cos x?sin y?sin(x?y)?sin(x?y) 2cos x?cos y?cos(x?y)?cos(x?y)， ?2sin x?sin y?cos(x?y)?cos(x?y) （7） 反三角函数的运算公式
arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=π-arccosx,x?[1,1];arctan(-x)=-arctanx,arccot(-x)=π-arccotx,x?(ゥ,);sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x,tan(arctanx)=x,cot(arccotx)=x,arcsin(sinx)=x,x?[arccos(cosx)=x,
x?[1,1];x?(ゥ,);
ππππ,];arctan(tanx)=x,x?(,);2222x?[0,π];arccot(cotx)x,x?(0,π).
高职高专高等数学第一章教案
