高考文科数学复习专题极坐标与参数方程
(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．
(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，
θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一
点的极坐标却不是唯一的．
(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C
的极坐标方程．
2．直线的极坐标方程．
(1)过极点且与极轴成φ角的直线方程是θ＝φ和θ＝π－φ，如下图所示．
0
0
0
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(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．
(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所
示．
3．圆的极坐标方程．
(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．
(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．
π
(3)圆心在过极点且与极轴成的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所
2
示．
4．极坐标与直角坐标的互化．
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若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标
M(x，y)的公式如下：
yθ，cos ＝ρx
或者ρ＝x2＋y2，tan θ＝x，θsin ＝ρy
?????
其中要结合点所在的象限确定角θ的值．
1．曲线的参数方程的定义．
??x＝f（t），
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即?并
?y＝g（t），?
且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的
参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程．
(1)过定点P(x，y)，倾斜角为α的直线：
0
0
α，tcos ＋x0＝x
(t为参数)，
αtsin ＋y0＝y
?????
其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M
间的有向距离．
根据t的几何意义，有以下结论：
①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|＝|tB－tA|＝
（tB＋tA）2－4tA·tB；
tA＋tB
.2
②线段AB的中点所对应的参数值等于
0
0
(2)中心在P(x，y)，半径等于r的圆：
θ，rcos ＋x0＝x
(θ为参数)
θrsin ＋y0＝y
?????
(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：
?x＝bcos θ，?θ，acos ＝x??
(θ为参数)?或??.
?y＝asin θ?θbsin ＝y??
??
???
??x＝x0＋acos α，
中心在点P(x0，y0)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为?(α为参
?y＝y0＋bsin α?
数)．
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(4)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线：
?x＝btan θ，?θ，asec ＝x??
(θ为参数)?或??.
?y＝asec θ?θbtan ＝y??
??
???
(5)顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上的抛物线：
，2p＝x
(t为参数，p>0)．
2p＝y
?????
注：sec θ＝cos θ. 3．参数方程化为普通方程．
由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元
1
法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．
1．已知点A的极坐标为??4，
? 2．把点P的直角坐标(
5π?
，则点A的直角坐标是(2，－23)．3??
π??6，－2)化为极坐标，结果为?22，－?．
6??2
2
3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x＋(y－2)＝4．
??? 4．以极坐标系中的点??1，6?为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos?θ－6?．
????
???x＝t，?x＝3cos θ，
?5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：?(θ为参数)?y＝t－a?y＝2sin θ??
ππ
的右顶点，则常数a的值为3．
???x＝t，?x＝3cos θ，x2y2
?解析：由直线l：得y＝x－a.由椭圆C：?得＝＝1.所以椭圆C的右顶点
4?y＝t－a，?y＝2sin θ，9??
为(3，0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0＝3－a，即a＝3.
一、选择题
建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)
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1．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴
?? A.??1，－3? B.?2，
???
π
π
4π?
3??4π??3?
?? C.??2，－3? D.?2，－
???
???x＝2cos θ，?x＝t＋1，
?2．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为?(t为参数)，则直线与圆的位?y＝2sin θ?y＝t－1??
置关系是(B)
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
3．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的
??x＝t＋1，
长度单位，已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l
?y＝t－3?
被圆C截得的弦长为(D) A. C.
14 B．2142 D．22
2
2
解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x－y－4＝0，x＋y＝4x，所以圆心C(2，0)，半径r＝2，
圆心(2，0)到直线l的距离d＝
2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22.
?x＝3cos θ，?22
4．已知动直线l平分圆C：(x－2)＋(y－1)＝1，则直线l与圆O：?(θ为参数)的位
?y＝3sin θ?
置关系是(A)
A．相交 B．相切 C．相离 D．过圆心
??x＝3cos θ，
解析：动直线l平分圆C：(x－2)＋(y－1)＝1，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O：?
?y＝3sin θ?
2
2
的普通方程为x＋y＝9且2＋1<9，故点(2，1)在圆O内，则直线l与圆O的位置关系是相交．
二、填空题
2
2
2
2
??y＝sin θ－2，
5．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?(θ是参数)，若以O为极
?x＝cos θ?
点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为ρ＋4ρsin_θ＋3＝0．
2
???y＝sin θ－2，?y＋2＝sin θ，2
解析：在平面直角坐标系xOy中，?(θ是参数)，∴?根据sinθ＋
?x＝cos θ?x＝cos θ.??
cosθ＝1，可得x＋(y＋2)＝1，即x＋y＋4y＋3＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＋4ρsin θ＋3＝0.
2
2
2
2
2
2
??x＝2cos θ，
6．在平面直角坐标系中圆C的参数方程为?(θ为参数)，以原点O为极点，以x轴的
?y＝2＋2sin θ?
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