试卷类型：A
20XX年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式
V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高
线性回归方程y?bx?a中系数计算公式 其中x,y表示样本均值。
N是正整数，则an?bn??a?b?(an?1?an?2b?…abn?2?bn?1）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z满足?1?i?z?2，其中i为虚数单位，则z= A．1?i B. 1?i C. 2?2i Ｄ．2?2i
2．已知集合A???x,y? ∣x,y为实数，且x2?y2?1?，且y?x?，则A?BB???x,y?x,y为实数，的元素个数为
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c?(a?2b)?
Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0
4. 设函数f?x?和g?x?分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．f?x??g?x?是偶函数 Ｂ．f?x??g?x?是奇函数 Ｃ．f?x??g?x?是偶函数 Ｄ．f?x??g?x?是奇函数
?0?x?2?5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定。若M(x,y)为D上的动点，
??x?2y点A的坐标为(2,1)，则z?OMON的最大值为
A．42 B．32 C．4 D．3
6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．
3123 B． C． D．
52347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A. 63 B. 93 C. 123 D. 183 8.设S是整数集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，则下列结论恒成立的是
A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的
五、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）
9. 不等式x?1?x?3?0的解集是 .
2??10. x?x??的展开式中，x4的系数是 （用数字作答）
x??11. 等差数列an前9项的和等于前4项的和. 若a1?1,ak?a4?0，则k=____________.
2f(x)?x?3x?1在x=____________处取得极小值。 12. 函数
713. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
??x?5cos?(0????) 和14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为???y?sin?52??x?t4(t?R)，它们的交点坐标为___________. ???y?t15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， ∠BAC=∠APB, 则AB= 。
三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 20、（本小题满分12分）
1?已知函数f(x)?2sin(x?),x?R.
365?（１） 求f()的值；
4?106???（２） 设?,???0,?,f(3a?)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.
2135?2?
17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。
18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA?PD?2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ?平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆(x?5)2?y2?4,(x?5)2?y2?4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M(标.
20.（本小题共14分） 设b>0,数列?an?满足a1=b，an?（1）求数列?an?的通项公式；
3545,),F(5,0)，且P为L上动点，求MP?FP的最大值及此时点P的坐55nban?1(n?2)
an?1?2n?2.
bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1.
2
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y?12x实数p，q满足p2?4q?0，x1，x2是4.
方程x2?px?q?0的两根，记?(p,q)?max?x1,x2?。 （1）过点A(p0,q)有?(p,q)?p0; 212p0)(p0?0)作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，4 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,121p1),E?(p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集44记为X.证明：M(a,b) ?X?P1?P2??(a,b)?（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
p1 2;
15(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求?(p,q)的最小值 （记为44?min）和最大值（记为?max）.
20XX年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
题 号 答 案 二、填空题 ９. [1,??)； 14. (1,10. 84；
1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A C D B A 11. 10；
12. 2；
13. 185；
25)； 515.
35；
三、解答题 16．解：(1)f(5?5???)?2sin(?)?2sin?2; 41264(2)f(3???2)?2sin??105?12，?sin??，又??[0,]，?cos??， 1313213)?2cos??63，?cos??， 55f(3??2?)?2sin(??又??[0,?2?2]，?sin??4， 516. 65cos(???)?cos?cos??sin?sin??17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5?（2）样品中优等品的频率为
14?35； 9822，乙厂生产的优等品的数量为35??14； 55i2?iC2C3(i?0,1,2)，?的分布列为 （3）??0,1,2， P(??i)?2C5? P 0 1 2 3 103 5P 1 10均值E(?)?1?314?2??. 510518.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，?PG?AD，
由题意知ΔABC是等边三角形，?BG?AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，
F ?AD?平面PGB，
EF//PB,DE//GB，
A
G DCB
E Ｓ
Ｓ ?平面DEF//平面PGB， ?AD?平面DEF
(2) 由（1）知?PGB为二面角P?AD?B的平面角，
在Rt?PGA中，PG?2Ｓ
Ｓ
17132?()2?；在Rt?BGA中，BG2?12?()2?；
24242PG2?BG2?PB221在?PGB中，cos?PGB?. ??2PG?BG719．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(?5,0)、F2(5,0)，
由题意得R?|CF1|?2?|CF2|?2或R?|CF2|?2?|CF1|?2，
?||CF1|?|CF2||?4?25?|FF12|，
x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为2?2?1，则
abx22a?4,a?2,c?5,b?c?a?1,b?1，所以轨迹L的方程为?y2?1．
4222（２）∵||MP|?|FP||?|MF|?2，仅当PM??PF(??0)时，取＂＝＂，
由kMFx2?y2?1并整理得15x2?325x?9?0解得??2知直线lMF:y??2(x?5)，联立4x?651456525或x?，此时P((舍去）,-) 515553545,)． 55所以||MP|?|FP||最大值等于2，此时P(20．解（１）法一：
anban?1nan?1?2(n?1)12n?1，得， ?????nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设
21n?bn，则bn??bn?1?(n?2)，
bban11为首项，为公差的等差数列， 22（ⅰ）当b?2时，?bn?是以即bn?111?(n?1)??n，∴an?2 222222?(bn?1??)，则bn??bn?1??(?1)， bbb（ⅱ）当b?2时，设bn???令?(211121?1)?，得????(bn?1?)(n?2)， ，?bn?bb2?b2?bb2?b11121?(b1?)?()n?1，又b1?， 是等比数列，?bn?2?b2?b2?bbb知bn?12n112n?bnnbn(2?b)?bn??()???，?an?．
2?bb2?b2?bbn2n?bn11法二：（ⅰ）当b?2时，?bn?是以为首项，为公差的等差数列，
22即bn?111?(n?1)??n，∴an?2 2222b22b2(b?2)3b33b3(b?2)?2?3（ⅱ）当b?2时，a1?b，a2?，a2?2， b?2b?22b?2b?4b?23nbn(b?2)猜想an?，下面用数学归纳法证明：
bn?2n①当n?1时，猜想显然成立；
kbk(b?2)②假设当n?k时，ak?，则
bk?2kak?1(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?2)， ??k?kkk?1k?1ak?2(n?1)kb(b?2)?2k?(b?2)b?2所以当n?k?1时，猜想成立，
nbn(b?2)由①②知，?n?N*，an?． nnb?22n?1（２）（ⅰ）当b?2时， an?2?n?1?1，故b?2时，命题成立；
2（ⅱ）当b?2时，b2n?22n?2b2n?22n?2n?1bn，
b2n?1?2?b?22n?1?2b2n?22n?2n?1bn，
,bn?1?2n?1?bn?1?2n?1?2b2n?22n?2n?1bn，以上n个式子相加得
b2n?b2n?1?2??bn?1?2n?1?bn?1?2n?1??b?22n?1?22n?n?2n?1bn，
n?2n?1bn(b?2)[(b2n?b2n?1?2?an?n?1n?2(b?2n)?(b2n?b2n?1?2??b?22n?1?22n)?bn?2n](b?2)
2n?1(bn?2n)?b?22n?1?22n)(b?2)?bn?2n(b?2) n?1nn2(b?2)(b2n?1?22n?1)?bn?1?2n?bn?2n?1 ?n?1nn2(b?2)(b2n?1?bn?1?2n)?(bn?2n?1?22n?1)bn?1?n?1?1．故当b?2时，命题成立； ?n?1nn22(b?2)综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
21．解：（１）kAB?y'|x?p0?(x)|x?p0?直线AB的方程为y?121p0， 212111p0?p0(x?p0)，即y?p0x?p02， 4224?q?11p0p?p02，方程x2?px?q?0的判别式??p2?4q?(p?p0)2， 24两根x1,2?p?|p0?p|p0p?或p?0，
222p0p|?||p|?|0||，又0?|p|?|p0|， 22p?p0?0，?|p???|p0ppppp|?|p|?|0|?|0|，得?|p?0|?||p|?|0||?|0|， 222222p0|． 2??(p,q)?|2（２）由a?4b?0知点M(a,b)在抛物线L的下方，
①当a?0,b?0时，作图可知，若M(a,b)?X，则p1?p2?0，得|p1|?|p2|； 若|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X； ?M(a,b)?X?|p1|?|p2|． ②当a?0,b?0时，点M(a,b)在第二象限，
作图可知，若M(a,b)?X，则p1?0?p2，且|p1|?|p2|； 若|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X；
?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．
根据曲线的对称性可知，当a?0时，M(a,b)?X?|p1|?|p2|，
综上所述，M(a,b)?X?|p1|?|p2|（*）；
由（１）知点M在直线EF上，方程x?ax?b?0的两根x1,2?同理点M在直线E'F'上，方程x?ax?b?0的两根x1,2?若?(a,b)?|22p1p或a?1， 22p2p或a?2， 22p1pppp|，则|1|不比|a?1|、|2|、|a?2|小， 22222p1p|?M(a,b)?X；又由（１）知，M(a,b)?X??(a,b)?|1|； 22p1|?M(a,b)?X，综合（*）式，得证． 215(x?1)2?得交点(0,?1),(2,1)，可知0?p?2， 44?|p1|?|p2|，又|p1|?|p2|?M(a,b)?X，
??(a,b)?|??(a,b)?|（３）联立y?x?1，y?12x0?q1124?x0， 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x0,x0)，则
4x0?p2得x02?2px0?4q?0，解得x0?p?又q?p2?4q，
15(p?1)2?，即p2?4q?4?2p， 44115?x0?p?4?2p，设4?2p?t，?x0??t2?t?2??(t?1)2?，
222?max?|x055|max，又x0?，??max?；
242p2?4p?4?p?|p?2|?2，
q?p?1，?x0?p???min?|
x0|min?1． 2
《2011年高考广东卷理科数学试题及答案含答案》
