试卷类型:A
20XX年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项:
1、答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:柱体的体积公式
V=Sh其中S为柱体的底面积,h为柱体的高
线性回归方程y?bx?a中系数计算公式 其中x,y表示样本均值。
N是正整数,则an?bn??a?b?(an?1?an?2b?…abn?2?bn?1)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z满足?1?i?z?2,其中i为虚数单位,则z= A.1?i B. 1?i C. 2?2i D.2?2i
2.已知集合A???x,y? ∣x,y为实数,且x2?y2?1?,且y?x?,则A?BB???x,y?x,y为实数,的元素个数为
A.0 B.1 C.2 D.3 3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则c?(a?2b)?
A.4 B.3 C.2 D.0
4. 设函数f?x?和g?x?分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A.f?x??g?x?是偶函数 B.f?x??g?x?是奇函数 C.f?x??g?x?是偶函数 D.f?x??g?x?是奇函数
?0?x?2?5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定。若M(x,y)为D上的动点,
??x?2y点A的坐标为(2,1),则z?OMON的最大值为
A.42 B.32 C.4 D.3
6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.
3123 B. C. D.
52347. 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为
A. 63 B. 93 C. 123 D. 183 8.设S是整数集Z的非空子集,如果?a,b?S,有ab?S,则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T?U?Z,且?a,b,c?T,有abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V,则下列结论恒成立的是
A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的
五、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。 (一)必做题(9-13题)
9. 不等式x?1?x?3?0的解集是 .
2??10. x?x??的展开式中,x4的系数是 (用数字作答)
x??11. 等差数列an前9项的和等于前4项的和. 若a1?1,ak?a4?0,则k=____________.
2f(x)?x?3x?1在x=____________处取得极小值。 12. 函数
713. 某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)
??x?5cos?(0????) 和14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为???y?sin?52??x?t4(t?R),它们的交点坐标为___________. ???y?t15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆O外一点p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5, ∠BAC=∠APB, 则AB= 。
三.解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 20、(本小题满分12分)
1?已知函数f(x)?2sin(x?),x?R.
365?(1) 求f()的值;
4?106???(2) 设?,???0,?,f(3a?)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.
2135?2?
17. 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 (1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值(即数学期望)。
18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA?PD?2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明:AD ?平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆(x?5)2?y2?4,(x?5)2?y2?4中的一个内切,另一个外切。 (1)求圆C的圆心轨迹L的方程; (2)已知点M(标.
20.(本小题共14分) 设b>0,数列?an?满足a1=b,an?(1)求数列?an?的通项公式;
3545,),F(5,0),且P为L上动点,求MP?FP的最大值及此时点P的坐55nban?1(n?2)
an?1?2n?2.
bn?1(2)证明:对于一切正整数n,an?n?1?1.
2
21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y?12x实数p,q满足p2?4q?0,x1,x2是4.
方程x2?px?q?0的两根,记?(p,q)?max?x1,x2?。 (1)过点A(p0,q)有?(p,q)?p0; 212p0)(p0?0)作L的切线教y轴于点B. 证明:对线段AB上任一点Q(p,4 (2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a,b)作L的两条切线l1,l2,切点分别为E(p1,121p1),E?(p2,p22),l1,l2与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集44记为X.证明:M(a,b) ?X?P1?P2??(a,b)?(3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
p1 2;
15(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求?(p,q)的最小值 (记为44?min)和最大值(记为?max).
20XX年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
题 号 答 案 二、填空题 9. [1,??); 14. (1,10. 84;
1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A C D B A 11. 10;
12. 2;
13. 185;
25); 515.
35;
三、解答题 16.解:(1)f(5?5???)?2sin(?)?2sin?2; 41264(2)f(3???2)?2sin??105?12,?sin??,又??[0,],?cos??, 1313213)?2cos??63,?cos??, 55f(3??2?)?2sin(??又??[0,?2?2],?sin??4, 516. 65cos(???)?cos?cos??sin?sin??17.解:(1)乙厂生产的产品总数为5?(2)样品中优等品的频率为
14?35; 9822,乙厂生产的优等品的数量为35??14; 55i2?iC2C3(i?0,1,2),?的分布列为 (3)??0,1,2, P(??i)?2C5? P 0 1 2 3 103 5P 1 10均值E(?)?1?314?2??. 510518.解:(1) 取AD的中点G,又PA=PD,?PG?AD,
由题意知ΔABC是等边三角形,?BG?AD, 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线,
F ?AD?平面PGB,
EF//PB,DE//GB,
A
G DCB
E S
S ?平面DEF//平面PGB, ?AD?平面DEF
(2) 由(1)知?PGB为二面角P?AD?B的平面角,
在Rt?PGA中,PG?2S
S
17132?()2?;在Rt?BGA中,BG2?12?()2?;
24242PG2?BG2?PB221在?PGB中,cos?PGB?. ??2PG?BG719.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为F1(?5,0)、F2(5,0),
由题意得R?|CF1|?2?|CF2|?2或R?|CF2|?2?|CF1|?2,
?||CF1|?|CF2||?4?25?|FF12|,
x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,设方程为2?2?1,则
abx22a?4,a?2,c?5,b?c?a?1,b?1,所以轨迹L的方程为?y2?1.
4222(2)∵||MP|?|FP||?|MF|?2,仅当PM??PF(??0)时,取"=",
由kMFx2?y2?1并整理得15x2?325x?9?0解得??2知直线lMF:y??2(x?5),联立4x?651456525或x?,此时P((舍去),-) 515553545,). 55所以||MP|?|FP||最大值等于2,此时P(20.解(1)法一:
anban?1nan?1?2(n?1)12n?1,得, ?????nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设
21n?bn,则bn??bn?1?(n?2),
bban11为首项,为公差的等差数列, 22(ⅰ)当b?2时,?bn?是以即bn?111?(n?1)??n,∴an?2 222222?(bn?1??),则bn??bn?1??(?1), bbb(ⅱ)当b?2时,设bn???令?(211121?1)?,得????(bn?1?)(n?2), ,?bn?bb2?b2?bb2?b11121?(b1?)?()n?1,又b1?, 是等比数列,?bn?2?b2?b2?bbb知bn?12n112n?bnnbn(2?b)?bn??()???,?an?.
2?bb2?b2?bbn2n?bn11法二:(ⅰ)当b?2时,?bn?是以为首项,为公差的等差数列,
22即bn?111?(n?1)??n,∴an?2 2222b22b2(b?2)3b33b3(b?2)?2?3(ⅱ)当b?2时,a1?b,a2?,a2?2, b?2b?22b?2b?4b?23nbn(b?2)猜想an?,下面用数学归纳法证明:
bn?2n①当n?1时,猜想显然成立;
kbk(b?2)②假设当n?k时,ak?,则
bk?2kak?1(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?2), ??k?kkk?1k?1ak?2(n?1)kb(b?2)?2k?(b?2)b?2所以当n?k?1时,猜想成立,
nbn(b?2)由①②知,?n?N*,an?. nnb?22n?1(2)(ⅰ)当b?2时, an?2?n?1?1,故b?2时,命题成立;
2(ⅱ)当b?2时,b2n?22n?2b2n?22n?2n?1bn,
b2n?1?2?b?22n?1?2b2n?22n?2n?1bn,
,bn?1?2n?1?bn?1?2n?1?2b2n?22n?2n?1bn,以上n个式子相加得
b2n?b2n?1?2??bn?1?2n?1?bn?1?2n?1??b?22n?1?22n?n?2n?1bn,
n?2n?1bn(b?2)[(b2n?b2n?1?2?an?n?1n?2(b?2n)?(b2n?b2n?1?2??b?22n?1?22n)?bn?2n](b?2)
2n?1(bn?2n)?b?22n?1?22n)(b?2)?bn?2n(b?2) n?1nn2(b?2)(b2n?1?22n?1)?bn?1?2n?bn?2n?1 ?n?1nn2(b?2)(b2n?1?bn?1?2n)?(bn?2n?1?22n?1)bn?1?n?1?1.故当b?2时,命题成立; ?n?1nn22(b?2)综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.
21.解:(1)kAB?y'|x?p0?(x)|x?p0?直线AB的方程为y?121p0, 212111p0?p0(x?p0),即y?p0x?p02, 4224?q?11p0p?p02,方程x2?px?q?0的判别式??p2?4q?(p?p0)2, 24两根x1,2?p?|p0?p|p0p?或p?0,
222p0p|?||p|?|0||,又0?|p|?|p0|, 22p?p0?0,?|p???|p0ppppp|?|p|?|0|?|0|,得?|p?0|?||p|?|0||?|0|, 222222p0|. 2??(p,q)?|2(2)由a?4b?0知点M(a,b)在抛物线L的下方,
①当a?0,b?0时,作图可知,若M(a,b)?X,则p1?p2?0,得|p1|?|p2|; 若|p1|?|p2|,显然有点M(a,b)?X; ?M(a,b)?X?|p1|?|p2|. ②当a?0,b?0时,点M(a,b)在第二象限,
作图可知,若M(a,b)?X,则p1?0?p2,且|p1|?|p2|; 若|p1|?|p2|,显然有点M(a,b)?X;
?M(a,b)?X?|p1|?|p2|.
根据曲线的对称性可知,当a?0时,M(a,b)?X?|p1|?|p2|,
综上所述,M(a,b)?X?|p1|?|p2|(*);
由(1)知点M在直线EF上,方程x?ax?b?0的两根x1,2?同理点M在直线E'F'上,方程x?ax?b?0的两根x1,2?若?(a,b)?|22p1p或a?1, 22p2p或a?2, 22p1pppp|,则|1|不比|a?1|、|2|、|a?2|小, 22222p1p|?M(a,b)?X;又由(1)知,M(a,b)?X??(a,b)?|1|; 22p1|?M(a,b)?X,综合(*)式,得证. 215(x?1)2?得交点(0,?1),(2,1),可知0?p?2, 44?|p1|?|p2|,又|p1|?|p2|?M(a,b)?X,
??(a,b)?|??(a,b)?|(3)联立y?x?1,y?12x0?q1124?x0, 过点(p,q)作抛物线L的切线,设切点为(x0,x0),则
4x0?p2得x02?2px0?4q?0,解得x0?p?又q?p2?4q,
15(p?1)2?,即p2?4q?4?2p, 44115?x0?p?4?2p,设4?2p?t,?x0??t2?t?2??(t?1)2?,
222?max?|x055|max,又x0?,??max?;
242p2?4p?4?p?|p?2|?2,
q?p?1,?x0?p???min?|
x0|min?1. 2
《2011年高考广东卷理科数学试题及答案含答案》
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