例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）f(x)?x?3x； （2）f(x)?x?2x?3 （3）f(x)?sinx?xx?(0,?)； （4）f(x)?2x?3x?24x?1 解：（1）因为f(x)?x?3x，所以， f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此，f(x)?x?3x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
2（2）因为f(x)?x?2x?3，所以， f(x)?2x?2?2?x?1?
'32323'223 当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递增；
当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递减； 函数f(x)?x?2x?3的图像如图3.3-5（2）所示．
（5） 因为f(x)?sinx?xx?(0,?)，所以，f(x)?cosx?1?0 因此，函数f(x)?sinx?x在(0,?)单调递减，如图3.3-5（3）所示． （6） 因为f(x)?2x?3x?24x?1，所以 ．
当f(x)?0，即 时，函数f(x)?x?2x?3 ； 当f(x)?0，即 时，函数f(x)?x?2x?3 ； 函数f(x)?2x?3x?24x?1的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例6 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请
分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数y?f(x)在?0,b?或?a,0?内的图像“陡峭”，在?b,???或???,a?内的图像“平缓”． 例7
求证：函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内是减函数．
3232'2'2322'2'2'
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证明：因为y?6x?6x?12?6x?x?2?6?x?1??x?2?
'22??当x???2,1?即?2?x?1时，y?0，所以函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内是减函数．
'32说明：证明可导函数f?x?在?a,b?内的单调性步骤： （1）求导函数f（2）判断f''?x?；
?x?在?a,b?内的符号；
'（3）做出结论：f例8
?x??0为增函数，f'?x??0为减函数．
23x(x?R)在区间??1,1?上是增函数，求实数a的取值范围． 3已知函数 f(x)?4x?ax2?'2'解：f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f(x)?0对x???1,1?恒成立，
即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1
2所以实数a的取值范围为??1,1?．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)?0；若函数单调递减，则f(x)?0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=
''1+2x x3. f(x)=sinx , x?[0,2?] 4. y=xlnx 2．课本P101练习 五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数y?f(x)单调区间
（3）证明可导函数f?x?在?a,b?内的单调性
六．布置作业
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§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间?a,b?上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一．创设情景
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是
说，如果x0是函数y?f?x?的极大（小）值点，那么在点x0附近找不到比f?x0?更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果x0是函数的最大（小）值，那么f?x0?不小（大）于函数y?f?x?在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间?a,b?上的函数f(x)象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函
y的图数
f(x)在?a,b?上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)．
1．结论：一般地，在闭区间?a,b?上函数
ax1Ox2x3bxy?f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y?f(x)在?a,b?上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数y?f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数y?f(x)在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数f(x)?1在(0,??)内连续，但没有最大值与最小值； x⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，是f(x)在闭区间?a,b?上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
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⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求f(x)在(a,b)内的极值；
⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在?a,b?上的最值 三．典例分析
例1．（课本例5）求f?x??13x?4x?4在?0,3?的最大值与最小值 3解： 由例4可知，在?0,3?上，当x?2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)??4，又由于3f?0??4，f?3??1
134x?4x?4在?0,3?的最大值是4，最小值是?． 3313上述结论可以从函数f?x??x?4x?4在?0,3?上的图象得到直观验证．
3因此，函数f?x??
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
yA.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 123．函数y=
141312x?x?x，在［－1，1］上的最小值为( ) 43213A.0 B.－2 C.－1 D.
1242108642-4-24．求函数y?x?2x?5在区间??2,2?上的最大值与最小值． 5．课本 练习
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y=x4-2x2+5O24x
五．回顾总结
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点； 2．函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，是f(x)在闭区间?a,b?上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
3．闭区间?a,b?上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法．
六．布置作业
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(570)[精]新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案（82页） - 图文
