问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ ⑵切线PT的斜率k为多少？ 容易知道，割线PPn的斜率是kn?PT的斜率k，即k?limf(xn)?f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线
xn?x0?x?0f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)
?x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在x?x0处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率， 即 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k
?x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标;
②求出函数在点x0处的变化率f?(x0)?lim的斜率；
③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f?(x0) 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?，
即: f?(x)?y??lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线
?x?x?0f(x??x)?f(x)
?x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 三．典例分析
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例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.
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2
（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数.
[(1??x)2?1]?(12?1)2?x??x2解：（1）y?|x?1?lim?lim?2,
?x?0?x?0?x?x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y?2?2(x?1)即2x?y?0
3x2?3?123(x2?12)（2）因为y?|x?1?lim?lim?lim3(x?1)?6
x?1x?1x?1x?1x?1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y?3?6(x?1)即6x?y?3?0 （2）求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2?y?(?1??x)2?(?1??x)?2解：??3??x
?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2 f?(?1)?lim??lim(3??x)?3
?x?0?x?x?0?x例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h(x)??4.9x2?6.5x?10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．
解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当t?t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，
在t?t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2） 当t?t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h?(t1)?0，
所以，在t?t1附近曲线下降，即函数h(x)??4.9x?6.5x?10在t?t1附近单调递减．
（3） 当t?t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h?(t2)?0，所以，在t?t2附近曲线下降，即函数
2h(x)??4.9x2?6.5x?10在t?t2附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c?f(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）
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变化的图象．根据图像，估计t?0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作t?0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.，9(1.0,0.48)，则它的斜率为：
k?0.48?0.91??1.4
1.0?0.7所以 f?(0.8)??1.4
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
t 0.2 药物浓度瞬时变化率f(t) 四．课堂练习 1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线； 2．求曲线y?'0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 0.4 x在点(4,2)处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义
六．布置作业
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§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y?c、y?x、y?x、y?2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
21的导数公式； x1的导数公式及应用 x12教学难点： 四种常见函数y?c、y?x、y?x、y?的导数公式
x教学重点：四种常见函数y?c、y?x、y?x、y?2教学过程： 一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y?f(x)，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授
1．函数y?f(x)?c的导数 根据导数定义，因为
?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y所以y??lim?lim0?0
?x?0?x?x?0函数 导数 y?c y??0 （图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y?c表示路程关于时间的函数，y??0表示函数y?c图像
则y??0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数y?f(x)?x的导数 因为
?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 ?x?x?x?y所以y??lim?lim1?1
?x?0?x?x?0函数 导数 y?x y??1 （图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y?x表示路程关于时间的函数，y??1表示函数y?x图像
则y??1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
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3．函数y?f(x)?x的导数
2?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2因为 ???x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x
?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x
?x?0?x?x?0函数 导数 y?x2 y??2x y??2x表示函数y?x2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线
的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x?0时，随着x的增加，函数y?x减少得越来越慢；当x?0时，随着x的增加，函数y?x增加得越来越快．若y?x表示路程关于时间的函数，则y??2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数y?f(x)?2221的导数 x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因为 ???x?x?x?x?(x??x)1 ??2x(x??x)?xx?x??x所以y??lim?y11?lim(?2)??2
?x?0?x?x?0x?x??xx函数 导数 y?n1 x*y???1 x2n?1（2）推广：若y?f(x)?x(n?Q)，则f?(x)?nx三．课堂练习 1．课本P13探究1 2．课本P13探究2 4．求函数y?
x的导数
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(570)[精]新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案（82页） - 图文
