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江苏省华罗庚中学2011届高三数学高考模拟试题（三） 2011年1月15
（必做题）
a1 a2 a3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案
直接填写在答卷的相应位置上. ．．．．．．．．
1．已知集合A?{x|y?4x?x2},B?(??,a]，且A?B，则实数a的取值范围是__▲___a?4 2．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图 所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均 分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x) 无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是____▲_____2 3．已知复数z1??1?ai，z2?b?3i，a,b?R，且z1?z2与z1?z2均为实数，则|32a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
… … … … …
z1|= ▲ 1. z2x2y213．设椭圆2?2?1的左、右焦点为F1,F2，左准线为l，P为椭圆上一点，PQ?l，垂足为Q。
ab1若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为___▲_____(,1)
214．若关于x的不等式a?4．若函数y?x?x?mx?1是R上的单调函数则实数m的取值范围是___▲__[,??) 5．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线
1332x?3x?4?b的解集恰好为[a,b]，则a?b?_____▲_____4 4l1:ax?by?2,l2:x?2y?2,l1与l2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则P2?P1的大小为__▲__
6．若对任意的x1?x2，均有[f(x2)?f(x1)]?(x2?x1)?0，且f(x)的图象经过点(?1,?1)和(0,1)，则不等式|f(x)|?1的解集是__▲____(?1,0) 7．执行如图所示的流程图，输出结果为 _▲_ ．?2
2
31. 36二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明．．．．
过程或演算步骤.
cosBb??2a?c. 15. （本小题满分14分）△ABC的三个内角A,B,C的对边边长分别是a,b,c，且满足cosC(1)求角B的值；（2）若b?19，a?c?5且a?c，求a,c的值.
1 28.已知点P（-1，3 ），O为坐标原点，点Q是圆O：x+y=1上 一点，且OQ?PQ=0，则|OP?OQ|=______▲_____7
9．已知?ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?为
2sinC，若?ABC得面积
1sinC，则?C=__▲__60? 6?x?my?n?10．若由不等式组?x?3y?0,(n?0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的
?y?0?外接圆的圆心在x轴上，则实数m? ▲ ．?cosBb??2a?c，由正弦定理得 15.解：（1）∵cosCcosBsinB??cosC2sinA?sinC，∴cosB(2sinA?sinC)?sinBcosC?0，
∴2cosBsinA?cosBsinC?sinBcosC?0，即2cosBsinA?sin(C?B)?0.
12?B?2，∴3.…………………7分 又∵sinA?sin(C?B)，sinA?0，∴
22222（2）依题意，由余弦定理b?a?c?2accosB得，a?c?ac?19， 又∵a?c?5，解得a?3,c?2.……………………………………14分
cosB??16．（本题满分14分）
如图，四棱柱A1B1C1D1?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
o3 311．从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC?2，?A?90，则这两个正方形的面积之和的最小值为 _▲_
1 2AB//CD,?ABC?90?,BC1?B1C，
（1）求证：平面DD1C1C?平面ABCD；
（2）设点E,F分别是棱AD,CC1中点，求证：EF//平面C1AB.
*12．已知数列{an}中，a1?2,a5?10,an?2?2an?1?an(n?N)，把数
列{an}的各项排成如图所示的三角形状，记F(m,n)表示第m行、第n列的项，若F(m,n)?F(m?1,n?1)?90，则m?n?__▲___10
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（1）求椭圆的方程;
（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，
动点M满足MD?CD，连结CM，交椭圆于点P.证明: OM?OP为定值;
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.
18 、解:(Ⅰ)如图，由题意得，2b?2c?22. ?b?c?2，a?2.
１7、（本题满分14分0某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的
休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，
人行道的宽分别为4米和10米（如图） （1）若设休闲区的长和宽的比
x2y2??1 ---------------------------------------------------4分 所求的椭圆方程为 42(Ⅱ)由(Ⅰ)知，C(?2，0)，D(2，0)
由题意可设CM:y?k(x?2)，P(x1，y1).
MD?CD，?M(2，4k). ?x2y2?1，??2222 由 ?4整理得:(1?2k)x?8kx?8k?4?0. --------------6分 2?y?k(x?2)?8k2?42?4k24k?2x1?x??， . ， y?k(x?2)?1112221?2k1?2k1?2k2?4k24kP(,) ------------------------------------------------------------------------------8分 1?2k21?2k22?4k24k4(1?2k2)?4k???4 即OM?OP为定值.-------10分 ?OM?OP?2?2221?2k1?2k1?2k(Ⅲ)设Q(x0,0)，则x0??2.
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，则MQ?DP，
?MQ?DP?0恒成立. --------------------------------------------------------------------------12分
所占面积S关于x的函数S?x? 的解析式；
A1B1?x，求公园ABCDB1C1（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
17、解：（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米， ∴a2x?4000?a?2010x2 ∴S??a?8??ax?20??ax?(8x?20)a?160
2010， -----------------------------------------------2分
?5??160?8010?2x?????4160,x??1,???…8分 xx??5?x?2.5时，公园所占面积最小，--13分 （2）S?1600?4160?5760，当且仅当2x?x 此时，a?40,ax?100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米。……14分
?4000??8x?20???8k24k,) 由(Ⅱ)可知QM?(2?x0,4k)， DP?(221?2k1?2k?8k24k?4k??0. -------------------------------------14分 ?QM?DP?(2?x0)?1?2k21?2k28k2x?0恒成立. ?x0?0. 即201?2k?存在Q(0,0)使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点；---------------------16分
19．（本题满分16分）设数列{an}满足a1?0,4an?1?4an?24an?1?1，令bn?（1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）若cn?4an?1
1an?1xy18、(本题满分16分)已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分
ab别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2
的正方形.
22，求{cn}的前n项和；
*（3）是否存在m,n(m,n?N,m?n)使得1,am,an三数成等比数列
解答：（1）4an?1?1?4an?1?24an?1?1?bn?1?(bn?1)?bn?1?bn?1 所以数列{bn}是等差数列 ----------------------------------------------5分
22如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知！
（2）由（1）得{bn}是等差数列且b1?1 ?bn?n ?4an?1?n
?an2?14n?4 ------6分 ?cn?(n?1)2?1?4n(n?2)?2(1n?1n?2) -----8分 ?Sc?1111111n?1?c2????cn?2[(1 3)?(2?4)????(n?1?n?1)?(n?n?2)]?2(1?1112(2n?3)--10分
2?n?1?n?2)?3?(n?1)(n?2)（3）设存在m,n满足条件，则有1?a2n2?1n?am?1?4?(m2?14)2 即 4(n2?1)?(m2?1)2，?m2?1比为偶数，设为2t -------------------------------------12分
即n2?1?t2?n2?t2?1?(n?t)(n?t)?1
?有??n?t?1或?n?t??1?n?t?1??n?t??1,即n?1,t?0 -------------------------------------------------------14分
?m2?1?2t?0?m?1与已知矛盾.
?不存在m,n(m,n?N*,m?n)使得1,am,an三数成等比数列 --------------------------------16分
20．（本题满分16分）已知函数f(x)????x3?x2?bx?c,x?1?alnx,x?1的图象过坐标原点O，且在点(?1,f(?1))处的切线的斜率是?5， （1）求实数b,c的值；（2）求f(x)在区间[?1,2]上的最大值；（3）对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上是否存在两点P,Q，使?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明
理由。
江苏省华罗庚中学届高三数学高考模拟试题
