第二章：控制系统的数学模型
§2.1 引言
·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
?机理分析法·建模方法?
实验法（辩识法）?·本章所讲的模型形式??时域：微分方程?复域：传递函数
§2.2控制系统时域数学模型
1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C网络 ur?L?
di?i?R?uC dt?i?C?u&
c ?L?C?u?c??R?C?u?c?uc
???uc?? ? ucRL11uc?ur ── 2阶线性定常微分方程 LCLC（2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A、B点受力情况
?? ?k1(xi?xA)?f(xA?x0)?k2x0
AB 由 k1(xi?xA)?k1xA 解出xA?xi?k2x0 k1
? 代入B等式：f(xi?k2??x0?x0)?k2x0 k1? f?xi?f(1?k2?)x0?k2x0 k1?? 得：f?k1?k2?x0?k1k2x0?fk1xi ── 一阶线性定常微分方程
（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：ua?R?i?Eb┈克希霍夫 电枢及电势：Eb?Ce??m┈楞次 电磁力矩：Mm?Cm?i┈安培
?力矩方程：Jm??m?fm?m?Mm ┈牛
顿
i?Mm变量关系：ua?m
Eb???消去中间变量有：
?T?JmR?R?fm?CeCm? 时间函数?m?Tm? m??m?kmua ?C?km?m?R?fm?CeCm? 传递函数?（4）X-Y记录仪（不加内电路）
?比较点: ?u?ur-up??放大器: ua?k1??u???????ku?u?ua??m???电动机: Tm?mmma ul ?rup?????????减速器: ??k2?m?绳轮: l?k??3???电桥电路: up?k4?l消去中间变量得：
Tm?l??l??k1k2k3k4kml?k1k2k3kmua─二阶线性定常微分方程
?l?即：?1?k1k2k3k4kmkkkkl?l?123mua TmTmTm2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 ? 线性系统便于分析研究。
? 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 ? 非线性元部件微分方程的线性化。
例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点?0处的线性化增量方程
y????E0cos?
解：在???0处线性化展开，只取线性项： y????y??0??E0??sin?0?????0? 令 ?y?y???-y??0? ??????0 得 ?y??E0sin?0??? 3、 用拉氏变换解微分方程 ?l??2l??2l?2ua （初条件为0） L: ?s2?2s?2?L?s??2Ua?s??
2s
L?s??2 2ss?2s?2?? L?1: l?t??L-1?L?s??
复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 s???j? 复函数 F?s??Fx?jFy 例：F?s??s?2???2?j? （2）复数模、相角
F?s??Fx2?Fy2
?F?s??arctgFy Fx （3）复数的共轭 F?s??Fx?jFy
（4）分析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点分析。 2 拉氏变换定义
F?s??L?f?t????0f?t??e?stdt 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：1?t???L?1?t????1?e?stdt?0???f(t)：像原 ?F(s)：像??0 t?0
?1 t?0?0?1?stes????1?0?1??1 ss
?0 t?02. 指数函数：f(t)??at
?e t?0L[f(t)]??e?edt??e??s?a?tdtat?st00?? ??1?(s?a)tes?a???0??11(0?1)?s?as?a
t?0?0 3. 正弦函数：f(t)??
sin?t t?0?
L?f(t)???sin?t?e?stdt0?? ???1j?te?e?j?t?e?stdt2j0??? ?? ? ? ?1-(s-j?)te?e?(s?j?)tdt2j0?
1??1?(s?j?)t??1?(s?j?)t??e?e00?2j?s?j?s?j???1?11???2j?s?j?s?j???12j???2?2js??2s2??24 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质： L?af1(t)?bf2(t)??aF1(s)?bF2(s) （2）微分定理： L?f??t???s?F?s??f?0?
证明：左??f??t??edt??e?stdf?t??st00?st? ??eft?ftde???????-st00?st ???0-f?0????s?f?t?edt
0????? ?sF?s??f?0? ?右
自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章
