（1）求三棱柱ABC?A1B1C1的表面积S；
（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）． 【解析】（1）在△ABC中，因为AB?2，AC?4，
?ABC?90?，所以BC?23．…………（1分）
1S?ABC??AB?BC?23．………………（1分）
2所以S?2S?ABC?S侧?2S?ABC?(AB?BC?AC)?AA1
?43?(2?23?4)?4?24?123．…………（3分） （2）连结BC1，因为AC∥A1C1，所以?BA1C1就是 异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）（1分）
在△A1BC1中，A1B?25，BC1?27，A1C1?4（1分）
A1B2?A1C1?BC15由余弦定理，cos?BA1C1?（3分） ?2?A1B?A1C110所以?BA1C1?arccos大小为arccos225（1分）即异面直线A1B与AC所成角10的
5．（1分） 10【原题】（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，DA?平面ABE,AE?EB?BC?2，BF?平面ACE于点F，且点F在CE上. （Ⅰ）求证：DE?BE；
（Ⅱ）求四棱锥E?ABCD的体积；
（Ⅲ）设点M在线段AB上，且AM?MB， 试在线段CE上确定一点N，使得MN//平面DAE. 【解析】（Ⅰ）因为DA?平面ABE，BC∥DA 所以AE?BC，DA?BE因为BF?平面ACE于点
C D
F
.MAB E
F，
AE?BF…2分
因为BCIBF?B，所以AE?面BEC，则AE?BE 因为AEIAD?A，所以BE?面DAE，则
DE?BE……4分
（Ⅱ）作EH?AB，因为面ABCD?平面ABE，所以EH?面AC 因为AE?BE，AE?EB?BC?2，
6
118EH?26分…8分 V?EH?S??2?2?22?所以E?ABCDABCD333（Ⅲ）因为BE?BC，BF?平面ACE于点F，所以F是EC的中点设P是BE的中点，连接MP,FP10分所以MP∥AE,FP∥DA因为AEIDA?A，所以MF∥面DAE，则点N就是点F
【原题】（本小题满分12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA?AD?DC?1BC?a，E是BC2的中点，将?BAE沿着AE翻折成?B1AE，使面B1AE?面AECD，F为B1D的中点.
（Ⅰ）求四棱B1?AECD的体积；（Ⅱ）证明：B1E∥面ACF；（Ⅲ）求面ADB1与面ECB1所成二面角的余弦值.
【解析】（Ⅰ）取AE的中点M,连接B1M，因为BA?AD?DC?1BC?a，?ABE为等边三角形，则2B1M?3a，又因为面B1AE?面AECD，所以B1M?面AECD，……2分 213?a3a?a?a?sin?…………4分 所以V??3234（Ⅱ）连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE?OD，又F为B1D的中点， 所以FO∥B1E，所以B1E∥面ACF……………7分
7
（Ⅲ）连接MD，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴 则E(,0,0),C(a,a23a33a,0),A(?,0,0),D(0,a,0),B1(0,0,a) 2222uuuruuurruuura3aa3auuua3aa3aEC?(,,0),EB1?(?,0,),AD?(,,0),AB1?(,0,)……9分
22222222?a3?x?ay??0?rr33?22????,) 设面ECB1的法向量v?(x,y,z)，?，令x?1，则u?(1,?33??ax??3az??0??22?a?x?r?2设面ADB1的法向量为u?(x,y,z)，??ax???23ay?0r332,?)……11分 ，令x?1，则v?(1,?333az?02111??rr333?，所以二面角则cos?u,v??111151???1??3333弦值为
的余
3……………12分 5
【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，SD?底面ABCD，底面ABCD是矩形，且
SD?AD?2AB，E是SA的中点。
（1）求证：平面BED?平面SAB；
（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小。 【解析】（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB． ∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB…4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．→DB＝(2，2，0)，→DE＝(1，0，1)，→CB＝(2，0，0)， →CS＝(0，－2，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量， ?m·→DB＝0，?2x1＋2y1＝0，则?即?因此可取m＝(－1，2，1)．8分
→x1＋z1＝0，??m·DE＝0，
?n·→CB＝0，
设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则?即
→?n·CS＝0，
8
?2x2＝0，? ?－2y2＋2z2＝0，
m·n33
因此可取n＝(0，2，1)． 10分cos?m，n?＝＝＝，故平面BED与平面SBC所成锐二面角的
|m||n|232
大小为30?．…12分
【原题】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点（Ⅰ） 求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥E-BCD的体积。 【解析】⑴取BC中点G，连接AG，EG，
因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，
且EG?12BB?BBBA1 1．由直棱柱知，AA1∥1，而D是AA1的中点， 所以EG∥?AD，…4分所以四边形EGAD是平行四边形，
C所以ED∥AG，又DE?平面ABC，
DE1
AG?平面ABC所以DE∥平面ABC．………7分 BA ⑵因为AD∥BBG 1，所以AD∥平面BCE，
C
所以VE?BCD?VD?BCE?VA?BCE?VE?ABC，……………10分
由⑴知，DE∥平面ABC，
所以VV111E?ABC?D?ABC?3AD?2BC?AG?6?3?6?4?12．…14分
【原题】（本题满分14分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，
（
AD?DC?CB?2，?CAB?30?，四边形ACFE为矩形，
FM平面ACFE?平面ABCD，CF?3． E（Ⅰ）求证：BC?平面ACFE；
（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角B?AM?C的余弦值． DC【解析】(1)证明：AD?DC?CB?2,?ABC?60? A（第20题）
B则AB?4，AC2?12，则得AB2?AC2?BC2
F?BC?AC，?面ACEF?平面ABCD，
E M面ACEF?平面ABCD?AC?BC?平面ACEF7分
H DC（II）过C作CH?AM交AM于点H，连BH,
则?CHB为二面角B?AM?C的平面角，在RT?BHC中，
A（第20题）
BCH?3,HB?13，cos?CHB?31313，则二面角B?AM?C的余弦值为31313．……14分 9
【原题】（本题满分14分）已知四棱锥P?ABCD中，
PA?平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，
（I）求证：平面PBD?平面PAC；?BAD?120?，PA?b．
（II）设的正切
AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O?PM?D值为26，求a:b的值．
【解析】（I）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC 从而平面PBD⊥平面PAC．………6分
（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为A-PM-D的平面角又OD?3a3aOHAPa,OM?,AM?，且 ?244OMPM3(16b2?9a2)aabOD·?从而OH?tan?OHD???26
224OH2b916b?9ab2?a216，
bP(0,0,b),D(0,a,0),M(33331a,a,0),O(a,a,0) …………8分 8844uuuruuuuruuur33333a,a,?b)OD?(?a,a,0) 从而PD?(0,a,?b),PM?(8844uuur33a,a,0)． 因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为OD?(?44ruuurruuuurr设平面PMD的法向量为n?(x,y,z),由PD?n,PM?n得
uuurruuuurr3335PD?n?ay?bz?0,PM?n?ax?ay?bz?0取x?b,y?b,z?a，
8833 10
高三数学二轮复习 立体几何新题型的解题技巧3 新人教A版
