题型三 立体几何（教师版）
【备 考 要 点】
立体几何在数学高考中占有重要的地位，近几年高考对立体几何考察的重点与难点稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考察的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考察的重点一直没有变，常常考察线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和空间角与距离的计算。
（1）从考题的数量看，一般为2-3题，其中一大一小的设置更符合课时比例；从所占分值来看，同一省份不同年份差异不大，不同省份略有差异。
（2）文理科差异较大，文科以三视图、面积与体积、平行与垂直关系的判断与证明为主要的考查对象，三视图几乎每年必考（其实，三视图是考察学生空间想象能力的良好素材，大部分省份的情况是文、理同题，位置调整难度）。
（3）理科在文科的基础上重点考查空间角的计算，由此可见“空间角的计算”受到的关注程度最高，与考纲要求吻合。解答题的命制特点是“一题两法”，各地标准答案都给出了向量解法。
（4）在“空间角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。
高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等． (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．
立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。占分比重全国绝大多数省份是两小题一大题21-22分，占全卷的14%左右。 考查重点 直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算：线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。
立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革..
【命 题 方 向】 【原题】（本题满分13分）如图，在四棱锥S?ABCD中，平面SAD?平面ABCD．底面ABCD为矩形，
AD?2a,AB?3a，SA?SD?a．
（Ⅰ）求证：CD?SA；
（Ⅱ）求二面角C?SA?D的大小. 【解析】（Ⅰ）因为平面SAD?平面ABCD， CD?AD，且面SADI面ABCD?AD， 所以CD?平面SAD.又因为SA?平面SAD 所以CD?SA．…… 6分
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD?SA.
在?SAD中，SA?SD?a，AD?2a， 所以SA?SD，所以SA?平面SDC. 即SA?SD，SA?SC,
所以?CSD为二面角C?SA?D的平面角． CD3a在Rt?CDS中，tan?CSD???3，
SDa
所以二面角C?SA?D的大小
?．… 13分 3法二：取BC的中点E, AD的中点P．在?SAD中，SA?SD?a，P为AD的中点，所以，SP?AD． 又因为平面SAD?平面ABCD，且平面SADI平面ABCD?AD 所以，显然，有PE?AD… SP?平面ABCD．1分 如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS 为z轴建立空间直角坐标系， 则S(0,0,B(22a)，A(a,0,0)， 2222a,3a,0)，C(?a,3a,0)， 222a,0,0)………3分 2D(?
uuuruuruuuruur22（Ⅰ）易知CD?(0,?3a,0),SA?(a,0,?a)因为CD?SA?0， 所以CD?SA．… 6分
22uur?n?SA?0?（Ⅱ）设n?(x,y,z)为平面CSA的一个法向量，则有?uuur??n?CA?0?22ax?az?0?，即?22?2ax?a3y?0?，
uuur所以n?(3,2,3) 7分显然，EP?平面SAD，所以PE为平面SAD的一个法向量，所以m?(0,1,0)为平
面SAD的一个法向量… 9分所以 cos?n,m??222?1?， 所以二面角C?SA?D的大小为 13分 23【原题】(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分别
为CC1和A1B1的中点，且A1A=AC=2AB=2． (I)求证：C1E∥平面A1BD； (Ⅱ)求点C1到平面A1BD的距离．
【解析】（Ⅰ）证明：取A1B中点F，连结EF，FD．
2
11B1B,,又B1BPC1C,C1D?C1C, 221∴EF平行且等于C1D,所以C1EFD为平行四边形，……4分
2∴C1E//DF，又DF?平面A1DB, ∴C1E//平面A1DB.……………6分
∵EFPBD?（Ⅱ）A1B?AD?5，
所以S?A1BD?6,……………8分
1311116?5??21,VB?A1C1D???2?1?1? 222323111221. VB?A1C1D?VC1?A1BD，……10分及??21d?，d?21323所以点C1到平面A1BD的距离为221.………………12分 21是正方MN∥平出AE与
【原题】(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N 分别是PA、BC的中点．(I)求证：面PCD；(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD?若存在，求平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．
11AD,NC//AD,NC?AD. 22∴四边形MNCF为平行四边形，……3分∴MN//FC，又FC?平面PCD,………5分
∵MFPAD,MF?∴MN∥平面PCD.
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0， 2)，C(2，2，0)，
uuuruuur设PC上一点E坐标为(x,y,z)，PE??PC，
即(x,y,z?2)??(2,2,?2)则E(2?,2?,2?2?)．…7分
uuuruuuruuur?1?AEgPB?0由?uuu,解得??．∴AE?(1,1,1).……9分 ruuur2??AEgPD?0作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
uuur∴AH⊥平面PBC,取AH为平面PBC的法向量．则uuur1uuuruuurAH?(AB?AP)?(1,0,1)，
2uuuruuur∴设AE与平面PBC所成角为?，AH,AE的夹角为?，则
uuuruuurAHgAE26r?.……12分 sin??|cos?|?uuuruuuu?3|AH|g|AE|32【原题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，?BAD＝60，AB＝2，
0 3
PA＝1,PA?平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点.
(Ⅰ) 求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求证：平面PDF⊥平面PAB；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小.
【解析】(Ⅰ) 取PD中点为M，连ME,MF ∵ E是PC的中点 ∴ME是?PCD的中位线,∴
1CD ∵ F是AB中点且ABCD是菱形， 21AB. ∴ MEFB ABCD,∴ ME2 ∴ 四边形MEBF是平行四边形. 从而 BE//MF, ∵ BE?平面PDF ,
MF?平面PDF, ∴ BE∥平面PDF ………………………………4分
ME ∵
DF?平面PDF ∴ 平面PDF⊥平面PAB .…………8分
说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前两小题用向量法，解答只要言之有理均应按步给分.
由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，∴DF?(33,?,0)是平面PAB的一个法向量, 22 设平面PCD的一个法向量为n?(x,y,z) 由n?DC?3x?y?0 ,且由n?PD?2y?z?0 在以上二式中令y?3，则得x??1，z?23，
∴n?(?1,3,23),设平面PAB与平面PCD所成锐角为?
4
故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60 …………13分
说明：（Ⅲ）小题用几何法，解答只要言之有理均应按步给分. 【原题】（本题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，
0?A?60?,?C?90?,CD?2，把△ABD沿BD折起（如图2），
使二面角A―BD―C的余弦值等于3。对于图2，完成以下各小题： 3（1）求A，C两点间的距离；（2）证明：AC?平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。 【解析】（1）取BD的中点E，连接AE，CE， 由AB=AD，CB=CD得，AE?BD，D，?BD， ??AEC就是二面角A―BD―C的平面角，
?cos?AEC?3??????1分 36，CE?2，
在△ACE中，AE?AC2?AE2?CE2?2AE·CE穋os?AEC 3?6?2?2?6?2??4,?AC?2????3分3（2）由AC=AD=BD=22，AC=BC=CD=2，
?AC2?BC2?AB2，AC2?CD2?AD2，??ACB??ACD?90?????4分?AC?平面BCD??????6分（3）以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C－xyz，
?AC?BC，C，?CD，又BC?CD?C，
0，2)，B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,2,0).????7分 则A(0，??n?AB?0?2x?2z?0设平面ABD的法向量为n?(x,y,z)，则?,即?,2y?2z?0??n?AD?0?取x?y?z?1,则n?(1,1,1),????9分 于是AC与平面ABD所成角?的正弦为sin??n?CAn//CA?0?0?23?2?3.??????12分3【原题】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2， AC?AA1?4，?ABC?90?．
A1
B1
5
C1
A
C
高三数学二轮复习 立体几何新题型的解题技巧3 新人教A版
