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uuuruuuur1．在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学AP?2PM,则
uuuruuuruuurPA?(PB?PC)等于
4444 B、? C、 D、 93392．已知向量a?(1,2)，b?(2,?3)．若向量c满足(c?a)//b，c?(a?b)，则c?
A、?（ ）
777939uuuuruuuruuur3．已知|AB|?8，|AC|?5，则|BC|的取值范围是（ ）
A、[3,8]
B、（3，8）
C、[3,13]
A、(,) B、(?,?) C、(,) D、(?,?)
7793737973 D、（3，13）
4．设向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则
x1y?1是a//b的（ ）条件。 x2y2A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要 5．下列命题：
①(a)?(a)?|a| ②(a?b)?c?(a?c)?b ③ |a·b|=|a|·|b| ④若a∥b,b∥c,则a∥c ⑤a∥b，则存在唯一实数λ，使b??a ⑥若
224a?c?b?c，且c≠o，则a?b ⑦设e1,e2是平面内两向量，则对于平面内任何
一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使a?xe1?ye2成立。 ⑧若|a+b|=|a－
b|则a·b=0。 ⑨a·b=0，则a=0或b=0
真命题个数为（ ） A、1 B、2
C、3
D、3个以上
r6．和a= (3,－4)平行的单位向量是_________；
rrrrururab7．已知向量p?r?r，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是 .
|a||b|8．若向量a=?x,2x?，b=??3x,2?，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是______.
ruuuruuu9．在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），
的面积是
uuuruuuruuurBABC3BDuuur?uuur?uuur，则四边形ABCDBABCBD-/
10．△ABC中，已知AB?AC?0，BC?AB?0，CB?CA?0，判断△ABC的形状为_______.
11．向量a、b都是非零向量，且向量a+3b与7a??b垂直，a?4b与7a??b垂直，求a与b的夹角．
????a?(1?cos?,sin?),b?(1?cos?,sin?),c?(1,0),??(0,?),??(?,2?)，12．a与
???????的值. c的夹角为θ1， b与c的夹角为θ2，且?1??2?,求sin32?13．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为3.若向量2te1＋7e2
与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．
14．四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?
15．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角?取何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值.
16．已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
17．已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是多少？
18．已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。
uuuruuuruuuruuuruuuruuurCA?CAgAB的值． 19．在边长为1的正三角形ABC中，求ABgBC?BCgb、c两两所成的角相等，20．已知同一平面上的向量a、并且|a|?1，|b|?2，|c|?3，
求向量a?b?c的长度。
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参考答案
1．A 【解析】
【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为D
uuuruuuruuuuruuuruuuur由AP?2PM知, p为?ABC的重心,根据向量的加法, PB?PC?2PM，
uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuur214?则AP?(PB?PC)=2AP?PM=2APPMcos0?2???1?
339。uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuur214?【正解】AP?(PB?PC)=2AP?PM=2APPMcos0?2???1?
339，uuuruuuruuuruuuruuuruuur4?PA?(PB?PC)??AP?(PB?PC)??，故选A 。
92．D 【解析】
【错解分析】由于混淆向量平行与垂直的条件，即非0向量 a//b?x1y2?x2y1?0，
rrrra?b?x1x2?y1y2?0，而不能求得答案。
rrrrrrrur【正解】不妨设C?(m,n)，则a?c??1?m,2?n?,a?b?(3,?1)，对于c?a//b，则
??rrr77有?3(1?m)?2(2?n)；又c?a?b，则有3m?n?0，则有m??,n??，故选D 。
93??【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很
好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用． 3．C 【解析】
【错解分析】对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，△ABC不存在，错选D。
【正解】因为向量减法满足三角形法则，作出|AB|?8，|AC|?5，BC?AC?AB。 （1）当△ABC存在，即A、B、C三点不共线时，3?|BC|?13；
（2）当AC与AB同向共线时，|BC|?3；当AC与AB反向共线时，|BC|?13。 ∴|BC|?[3,13]，故选C。 4．C 【解析】
【错解分析】a//b?x1y2?x2y1?0?x1y?1，此式是否成立，未考虑，选A。 x2y2
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【正解】若
x1y?1则x1y2?x2y1?0,?a//b，若a//b，有可能x2或y2为0，故选C。 x2y25．B
【解析】
【错解分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如果认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律就会产生一些错误的结论。
rrr2【正解】①正确。根据向量模的计算a?a?a判断。
rrr(a②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义?c)?b表
rrrrrrr示和向量b共线的向量，同理(a?b)?c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一
rrrrrr定是共线向量，故(a?b)?c?(a?c)?b不一定成立。
rrrr③错误。应为a?b?ab
④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。
r⑤错误。应加条件“非零向量a”
rrr⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投
影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。
⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。
b=0。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故a·
⑨错误。只需两向量垂直即可。
综上真命题个数为2，故选B 【点评】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数乘结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律) 6．(－
34，) 55【解析】
rr1r34【错解分析】因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是a，即 (，－)
555rr1r3434【正解】因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是?a，即(，－)或(－，)
55555r【点评】平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和a= (3,－4)垂
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直的单位向量”，结果也应该是两个。 7．[0,2]
【解析】
【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。
?a【正解】?,a?rrb?分别表示与a、b同向的单位向量,b?1??4?,0???,??? ?3??3???????ababab ???????????aaabbb8．????,???????1?3?【解析】
????????【错解分析】只由a,b的夹角为钝角得到a?b?0,而忽视了a?b?0不是a,b夹角为钝角?????的充要条件,因为a,b的夹角为180时也有a?b?0,从而扩大x的范围,导致错误. ??2【正解】? a，b的夹角为钝角, ?a?b?x???3x??2x?2??3x?4x?0
4 (1) 3??1又由a,b共线且反向可得x?? (2)
3解得x?0或 x?由(1),(2)得x的范围是????,???????1?3??1??4?,0???,??? ?3??3?9．3 【解析】
【错解分析】不清楚
uuuruuurBABCuuur?uuurBABC与∠ABC的角平分线有关，从而不能迅速找到解题的突破
口，不能正确求解。
【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的3倍，所以
cosABD?2?2?62?2?2??3132?3。 ，故sinABD?，SABCD?(2)?22210．锐角三角形
【解析】
【错解分析】∵BC?AB?0，∴|BC|?|AB|?cosB?0。 ∴∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形。
错将BC与AB的夹角看成是△ABC的内角B，向量BC与AB的夹角应为??B。
向量易错题带规范标准答案
